陶哲軒新論文“太反直覺”：再戰Erd?s問題，證明44年數學猜想是錯的
陶哲軒最新力作，在“自然數倒數之和是否為有理數”問題上取得一系列進展。
其中最引人矚目的一項成果，就是證明了一個非常反直覺的猜想，居、然、是、對、的：
存在一個遞增的自然數級數ak，使得對任意有理數t，都是有理數。（）
一位Topos研究所的數學物理學家John Carlos Baez在評論區毫不掩飾自己的驚嘆：
哇哦，這個結論太反直覺了！
不過這也意味著這項研究非常有趣。
為啥說這個結論非常反直覺？
可以理解成，要使一個級數的和是有理數本來就很難，再加上任意有理數t的偏移量，還讓級數保持有理性，難度就又加幾個數量級了。
- 需要滿足對所有有理數t都成立，而有理數有無窮多個
- 每增加一個t，就相當于增加一個約束條件
- 改變序列中任何一個數字ak，都會同時影響所有t對應的級數和
數學家Kenneth Stolarsky或許也是如上所想的，所以提出了相反的Stolarsky猜想。
現在，陶哲軒的結論相當于證明了Stolarsky猜想是不成立的。
果然，數學的神奇之處就在于，有時看似不可能的事情實際上是可能的，只是解決方案可能超出了我們的直觀認知。
那么，陶哲軒的方法是怎么顛覆直覺的？
迭代逼近法解決無限維度問題
從論文提交歷史可以看到，這項研究原本只有Vjekoslav Kova?一個作者，研究的是兩個特定級數的有理性問題。
陶哲軒加入后，幫助Kova?擴展到了對整個Ahmes級數的研究。
原本只有6頁的短論文，也擴展成了28頁長篇論證……
除了論文之外，陶哲軒還在個人博客上解釋了他們的思路。
不是直接嘗試構造這個級數，而是把問題轉化為研究一種集合，再使用“迭代逼近”方法，逐步解決。
先來解釋一下什么是Ahmes級數。
Ahmes級數是滿足如下形式的無窮級數，其中ak是一個嚴格遞增的自然數序列。
由于大多數實數都是無理數，人們也會期望這樣的級數“通常”也是無理的，但很難確定一個特定級數的無理性。
首先，此前數學界已知道，如果a?的增長速度比C(2k)更快（對任意常數C），那么對應的Ahmes級數一定是無理數。
也就是存在一個明確的“增長速度分界線”，超過這個速度，級數必然無理。但接近這個速度時，仍可能找到有理的例子。
接下來，論文中表明了如果滿足a???=O(a?2)，意味著a???比a?2增長得慢得多。
那么可以找到一個可比較的級數b?，和a?是漸進關系，且∑(1/b?)是有理數。
這部分解決了Erd?s問題#263：序列a? =22k是否符合這個性質，是否所有增長速度不超過指數級的級數都有這個性質。
因為條件a???=O(a?2)不足以覆蓋a? =22k的情況，這個條件也不適用于所有指數級或更慢增長的序列。
也就是a???=O(a?2)作為問題的分界線，“差一點”就能完整的解決了。
在這之后，陶哲軒展示了一個新的變體結論：
如果級數a?滿足：a???=O(a?)（即下一項不會比當前項增長太快） 且∑(1/a?)收斂。
那么可以找到b?，使得：b?=a?+O(1)（即b?與a?只差一個有界的常數） 且∑(1/b?)是有理數。
這又和Erd?s問題#264相關：
其中a?=2k時的情況被完全解決了，因為2k是指數增長。
問題中的第二部分，關于a?=k!的情況，超出了當前方法的能力范圍。
新的分界線被定位到了指數增長。
就像這樣……一步一步迭代逼近，就到了Erd?s問題#266，也是更高維度的變體。
陶哲軒避免了任何數論難題，主要依賴有理數集的可數稠密性。（具體論證過程略）
最終，Stolarsky猜想被轉化為一個無限維的問題。
陶哲軒讓維度數d隨k增長，但增長的速度要保持夠慢，這樣既保證收斂又保證稠密性。
不是陶解決的第一個Erd?s問題
前面提到，陶哲軒給出結論的的這個問題，是Erd?s問題#266。
由沃爾夫數學獎獲得者、匈牙利數學家Paul Erd?s（1913年3月26日－1996年9月20日）提出。
不過，這個問題的相關起源最早能追溯到古埃及時期——
古代埃及人在進行分數運算時，只使用分子是1的分數。因此這種分數也叫做埃及分數，或者叫單分子分數。
他們把所有復雜分數，都表示成單分子分數的和，例如3/4，一定要表示成3/4=1/2+1/4。
故而很長一段時間（大概幾千年吧），數學史家都堅持認為古埃及人不會使用分數；現代數學家們也一度認為埃及人之所以未能把算術和代數發展到較高水平，其分數運算之繁雜（就是非要把真分數分解成單分子分數）也是原因之一。
等到數學家們發現里面隱含了何等豐富的內容，已經是兩千多年后的后話了。
OK，讓我們回到Erd?s問題和Erd?s本人。
Erd?s被譽為20世紀最富有創造力的數學家和數學猜想提出者之一，21歲時就被授予數學博士學位，論文導師也是馮·諾伊曼的恩師利波特·費杰爾（Léopold Féjér）。
Erd?s一輩子合作了超過500位數學家，畢生發表了約1525篇數學論文，數量之多，至今無人能及。
他窮其一生，致力于并提出了離散數學、圖論、數論、數學分析、逼近理論、集合論和概率理論中的問題，其中大部分工作集中在離散數學領域，解決了該領域許多以前未解決的難題。
83歲時，因心臟病突發，Erd?s去世在華沙的一個數學會議上。
如他所愿，他的墓志銘上寫道：我終于不再變笨了（Végre nem butulok tovább）。
值得一提的是，Erd?s問題#266不是陶哲軒解決的第一個Erd?s相關問題。
2015年9月，陶哲軒在arXiv上掛了一篇論文《The Erd?s discrepancy problem》，宣布證明了Paul Erd?s在20世紀30年代提出的數論猜想“埃爾德什差異問題”存在。
埃爾德什差異問題于1932年被Erd?s提出，此前困擾了學術界80多年。
與許多數論難題一樣，埃爾德什差異問題描述起來很簡單，但證明難度卻很大。
通俗點闡述它：
假如你有一個由1和-1（例如由扔硬幣隨機產生）組成的數列和常數C。你要尋找到一個足夠長的有限數列，使這一數列的總和大于常數C。
有意思的是，為了證實這個曾經的猜想，陶哲軒經過了多年手動計算和計算機嘗試，還加入過一個專門研究它的小分隊合力專研（雖然當時失敗了）。
最終，破題的靈感來自德國數學家尤威·斯特羅斯基在陶博客下的評論，暗示陶研究的另一個問題可能與埃爾德什差異問題有關。
“起初，我認為這種聯系只是表面的。”但陶哲軒很快意識到將新思路和已有的結果結合在一起，很可能得到問題的證明。
這件事在當年當月，登上了Nature，題為《數學天才解決了一個大師級謎題》。
更有意思的是，Erd?s和陶哲軒的緣分，能追溯到更更更早。
1985年，72歲的Erd?s去澳大利亞講學。
在阿德萊德大學（8歲起，中學生陶哲軒用1/3的時間在該校學習數學、物理課程）的安排下，時年10歲的小陶哲軒拜見了Erd?s。
Erd?s認真閱讀了陶哲軒寫的論文，并鼓勵他說：“你是很棒的孩子，繼續努力！”
后來，Erd?s還寫了推薦信，推薦陶哲軒到普林斯頓大學攻讀博士學位。
2010年，英國衛報評選了兩千多年來“世界十大數學天才”，認為他們的革命性發現改變著我們的世界——Erd?s和陶哲軒都榜上有名。
這兩位數學大家還有一張非常經典的合影：
2013年，Erd?s誕辰100周年之際，陶哲軒在自己的博客上分享了一張當年和Erd?s的珍貴合影，以表懷念和感激。
One More Thing
But！
雖然#266被陶給出了結論，但Paul Erd?s還留下了很多問題沒被解決，這些問題通常是他在與其他數學家的合作中提出的，也有些是他獨自思考后形成的。
這些問題涵蓋了數論、組合數學、圖論、概率論等多個數學領域。
目前，860個問題中，還有580個問題等著被探索（去掉#266也還有579個）。這些問題分別設置了0-10000美元的獎金。
這些燦爛又迷人的遺產，直到今天仍激勵著每一位數學家，推動數學的進步，也讓后來者從中獲得新的視角和靈感。
論文地址：https://arxiv.org/abs/2406.17593v3
