黎曼猜想是數學中一個非常重要的未解決問題，與素數分布的精確性質有關（素數是那些只能被 1 和自身整除的數字，它們在數論中扮演著基礎性的角色）。

在當今的數學文獻中，已有超過一千條數學命題以黎曼猜想（或其推廣形式）的成立為前提。也就是說，黎曼猜想及其推廣形式一旦被證明，這一千多個命題將被確立為定理，對數學領域產生深遠的影響；而如果黎曼猜想被證明是錯誤的，那么這些命題中的一部分也將隨之失去其有效性。

新的突破來自 MIT 數學教授 Larry Guth 和牛津大學數學研究所教授、菲爾茲獎得主 James Maynard 的一篇論文。推薦該論文的數學家陶哲軒表示，他們對黎曼 zeta 函數零點的經典 1940 年 Ingham 界限進行了首次實質性改進（更廣泛地說，是控制各種狄利克雷級數的大值）。此前，誕生已超過 80 年的 Ingham 界限由于缺乏改進，限制了數學家在解析數論中做很多事情。

不過，陶哲軒也表示，盡管這是一個顯著突破，但距離完全解決黎曼猜想還有很大距離，因此應理性看待。

黎曼猜想是什么？

黎曼猜想或黎曼假設（Riemann Hypothesis）由德國數學家 Bernhard Riemann 于 1859 年提出。這個猜想與素數的分布密切相關，其核心內容涉及黎曼 ζ 函數（Riemann Zeta Function）的非平凡零點。 

圖源：facts.net/

黎曼猜想的內容無法用完全初等的數學來描述。粗略地說， 它是針對一個被稱為黎曼 ζ 函數的復變量函數 (即變量與函數值都可以在復數域中取值的函數) 的猜想。黎曼 ζ 函數跟許多其它函數一樣， 在某些點上的取值為零， 那些點被稱為黎曼 ζ 函數的零點。在那些零點中， 有一部分特別重要的被稱為黎曼 ζ 函數的非平凡零點。黎曼猜想所猜測的是那些非平凡零點全都分布在一條被稱為 「臨界線」的特殊直線上（引自科普作家盧昌海博客）。

黎曼 ζ 函數定義為：  

黎曼猜想認為，所有 ζ 函數的非平凡零點的實部都為 1/2。這意味著，如果 ζ(s)=0 且 s 是非平凡零點（即 s 不是負偶數），那么 s 的實部應為 1/2。

黎曼猜想是當今世界上最重要、最期待解決的數學難題。若猜想成立，則可以精確描述素數在自然數中的分布情況，并在解決數論、復分析和其他數學分支中具有廣泛的應用和影響。

迄今為止，距離黎曼猜想提出已經過去了 165 年。關于嘗試證明黎曼猜想的研究出現了很多，但均無疾而終。

關于解決黎曼猜想的嘗試

自黎曼猜想提出以來，很多數學家便開始了探索證明之旅。

1896 年，法國數學家雅克?阿達馬和 Charles Jean de la Vallée-Poussin 分別獨立地證明了在直線上沒有零點。連同了黎曼對于不非凡零點已經證明了的其他特性，這顯示了所有不平凡零點一定處于區域上。這是素數定理第一個完整證明中很關鍵的一步。

1900 年，德國數學家、現代數學之父之一大衛?希爾伯特將黎曼猜想包括在他著名的 23 條問題中，與哥德巴赫猜想一起組成了希爾伯特名單上的第 8 號問題。同時黎曼猜想也是希爾伯特問題中唯一一個被收入克雷數學研究所的千禧年大獎難題。

1914 年，英國數學家高德菲?哈羅德?哈代證明了有無限個零點在直線  上。后來哈代與英國數學家約翰?恩瑟?李特爾伍德在 1921 年及塞爾伯格在 1942 年的工作（臨界線定理）也就是計算零點在臨界線  上的平均密度。

直到最近幾年，對黎曼猜想的證明嘗試往往也會引起轟動。

2018 年 9 月，一場在海德堡盛況空前的演講引爆了數學圈，89 歲的阿蒂亞爵士對黎曼猜想的證明吸引了全球關注。在萬眾矚目之下，阿蒂亞爵士用 45 分鐘的時間向全世界展示對這個有著一百五十多年歷史的數學猜想的證明。

不過阿蒂亞爵士的證明只有以下一頁 PPT。這樣的證明，似乎無法讓人信服。當被問及是否解決了黎曼猜想時，他回應稱，「這是由你的邏輯決定的。原始的黎曼猜想我是證明了，除非你是那種不接受反證法的數學家。」他也補充說，其證明沒有解決所有問題，后續還有很多問題，自己只是走了第一步（第一步就是解決方案）。

遺憾的是，阿蒂亞爵士已經于 2019 年 1 月去世了。

如今，又有人向黎曼猜想發起了挑戰。

Guth 和 Maynard 做了什么

對于 Guth 和 Maynard 的新突破，知名數學家陶哲軒評價道：「Guth 和 Maynard 在研究黎曼猜想方面取得了重要進展，盡管離解決這一歷史悠久的數學問題還有很長的路要走 。」

論文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2405.20552

從陶哲軒的推文中我們了解到，該研究首次對數學家 Albert Ingham 在 1940 年左右關于黎曼 ζ 函數零點（以及更廣泛地控制各種 Dirichlet 級數的大值）的經典界限做出了實質性改進。  

1940 年，數學家 Albert Ingham 提出了一個描述這些零點的界限，這個界限對于當時的理論研究構成了基礎。然而，直到 Guth 和 Maynard 的工作之前，這個界限幾乎未被改進過。Guth 和 Maynard 的研究不僅改進了 Ingham 的這個界限，而且他們的方法為處理 Dirichlet 級數的大值提供了新的工具和視角，這些級數在很多數論和分析問題中都非常重要。

本文證明了 Dirichlet 多項式大值頻率的新界限。這為長度為 N 的 Dirichlet 多項式提供了改進的估計，其取值大小接近 。此外，該研究推導出一個零點密度估計以及關于長度為 的短間隔內素數的漸近式。 

對于這項研究，陶哲軒本人從數學的角度進行了一些說明。設??(σ,??) 表示黎曼 ζ 函數在實部至少為 σ 且虛部最大為 T 的零點數量。黎曼猜想告訴我們任何 σ>1/2 的情況下，N (σ，??) 會消失，不過現在還無法證明這個假設。但作為次優選擇，數學家們可以證明零點密度估計，這是關于 ??(σ,??)  的非平凡（non-trivial）上界。

事實證明， σ=3/4 是一個關鍵值。1940 年，Ingham 得出了??(3/4,??)???(3/5+??(1)) 的界限。

在接下來的八十年中，對這個界限的改進只是 ??(1) 誤差的微小精煉。這限制了研究者在解析數論中進行更深入的研究：例如，為了得到一個在幾乎所有形如 (??,??+??^??) 的短區間內的良好素數定理，人們長期以來一直受限于??>1/6 的范圍，主要障礙是缺乏對 Ingham 界限的改進。

Guth 和 Maynard 最終改進了 Ingham 邊界，從 3/5=0.6 提高到 13/25=0.52。這在解析數論中產生了許多相應的改進，例如，研究者可以在幾乎所有短區間內證明素數定理的范圍，現在從 θ>1/6=0.166… 到 θ>2/15=0.133…

作者介紹

Larry Guth 自 2019 年 7 月起擔任 MIT Claude E. Shannon 數學教授，并于 2021 年當選 MacVicar Fellow。

他于 2005 年在 Tom Mrowka 的指導下獲得 MIT 博士學位。此后在斯坦福大學擔任博士后，在多倫多大學擔任初級教職并在 2011 年被任命為 Courant Institute 教授。此后他于 2012 年加入 MIT 數學系擔任教授。

Guth 的研究興趣是度量幾何、諧波分析和極值組合。其中度量幾何是指研究涉及長度、面積和體積的不等式，一些主要的例子有等周不等式和收縮不等式。收縮不等式是 Guth 工作的一個重點， 另一個重點是尋找幾何不等式和拓撲之間的聯系。

最近，Guth 從事諧波分析和組合學的研究。很多工作與 Kakeya 問題有關，這是歐幾里得幾何中的一個未解決問題，與傅里葉分析中的限制型估計和極值組合學中關于線發生率的估計有關。

圖源：MIT

 James Maynard

James Maynard 生于 1987 年，是一位英國數學家，研究領域為解析數論，特別是素數理論。

數論中一些最著名的問題與素數的分布有關。雖然素數的大規模分布遵循數論定理（更準確的說是黎曼猜想），但很多自然問題需要處理短（或稀疏）尺度。

James Maynard 在 2013 年取得了關于孿生素數猜想的重要成果。他證明了存在無窮多對質數，其間隔小于 600，這一結果比張益唐的 7000 萬間隔要小，盡管他的論文發表時間比張益唐晚半年，但他的成果在數論專家中獲得了高度評價。

陶哲軒評價稱：「說實話，他的描述方式實際上比我的更干凈…… 事實證明他的說法還略強。」

Maynard 的方法既優雅又強大，以一種令人震驚的方式突破了篩分理論的界限。并且在一個看似相反的方向上，他繼續證明，有時素數比平均值稀疏得多，這是一個著名的 Erd?s 問題，數十年來沒有取得任何實質性進展。

Maynard 還在丟番圖逼近領域做了基礎性工作，他與蒙特利爾大學數學教授 Koukoulopoulos 解決了 Duffin–Schaeffer 猜想。該猜想于 1941 年提出，可以被認為是 Khintchine 定理的最終泛化，描述了一個典型的實數如何被有理數逼近。

2022 年，Maynard 因在解析數論方面的貢獻榮獲菲爾茲獎。菲爾茲獎是數學領域最負盛名的獎項，通常被視為數學的諾貝爾獎。James Maynard 因在解析數論方面的貢獻而獲此殊榮，這些貢獻已經在理解素數的結構和丟番圖逼近方面取得了重大進展。

2023 年，他又獲得了數學新視野獎。

期待兩位數學家在黎曼猜想等世界難題上取得更多進展。