教科書上有一個典型的問題：當你汽車的油耗盡后，你需要多大的力去推動它，才能夠將它加速到給定的速度呢？來自于牛頓運動第二定律的答案是：F=ma，其中a是加速度，m為質量，F為力的大小。這個非常直接而又精妙的定律能夠描繪各種各樣的運動。至少在理論上它可以解答這個世界的所有物理問題。

真的么？當人們開始從極小的尺度去思考這個世界時，比如：電子繞著原子核旋轉，他們意識到一切變得非常奇怪，牛頓定律好像不能用了。為了描寫這個微觀的世界，你需要用到二十世紀初期發展而來的量子力學。這個理論的核心是薛定諤方程，可以類比經典力學中的牛頓第二定律。

波和粒子

“在經典力學中，我們用位置和動量來描述一個物理系統的狀態”，劍橋大學的理論物理學家納齊姆·布瓦塔解釋道。例如：你有一個桌子，上面放了許多可以移動的臺球，只要你知道了每一個球在某個時刻t的位置和動量（動量是質量乘以速度），你就可以知道這個系統在這個時刻t的所有信息：一切物體的運動狀態和速度。“ 我們會問：如果我們知道系統的初始狀態，即，如果我們知道系統在t時刻的狀態，那么系統的狀態將會如何演化？我們可以用牛頓第二定律解決這個問題。在量子力學中，如果問同樣的問題，得到的答案卻是棘手的，因為位置和動量不再是描述這個系統的合適的變量了。”

問題的關鍵是：量子力學試圖去描述的對象及其行為并不是像小小的臺球那么簡單，有時將它想象為波更好一些。“以光作為例，牛頓除了在引力方面的工作，對光也非常感興趣。”布瓦塔說，“根據牛頓的理論，光可以被描述為粒子。但是之后，根據許多其他科學家對其進行的研究，包括詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell）提供的理論理解，我們發現，光用波來描述。”

但是在1905年的時候，愛因斯坦意識到，波的圖像也不完全正確。為了解釋光電效應，你需要將光束想象為粒子流，愛因斯坦稱這種粒子為光子。光子的數目正比于光強，每個光子的能量正比于頻率：

其中

，它是普朗克常數，是一個非常小的常數，以馬克斯-普朗克（Max Planck）的名字命名，1900年他在黑體輻射的工作中已經猜出了這個公式。“現在我們面臨的問題是，描述光的正確方式是有時將它看成波，有時將其看成粒子”，布瓦塔說。

愛因斯坦的結果可以聯系到科學界長久以來的努力，從十七世紀克里斯蒂安·惠更斯便開始嘗試，十九世紀威廉·哈密頓繼續進行探索，他們都想要統一關于光的波動性與粒子性的物理。被光在不同情況下的特性激勵，年輕的法蘭西物理學家路易·維克多·德布羅意在這個探索的旅程中邁出了激動人心的一步：他假定不止光，物質也有這種可稱之為波粒二象性的特性。物質的基本組成單位，比如電子，也是在一些情況下表現的像粒子，一些情況下像波。

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德布羅意（Louis de Broglie）, 1892-1987.

德布羅意于1920年提出的觀點，與其說基于實驗的證據而進行的猜想，不如說是受到愛因斯坦的相對論激發而產生的理論上的飛躍。但是不久之后科學家便發現了相應實驗證據。在十九世紀二十年代晚期，粒子被晶格散射的實驗證實了電子的“類波”本質。

證明波粒二象性的最著名的實驗是雙縫干涉實驗。在這個實驗中，電子（或其他粒子如光子或中子）被射出，會在同一時刻穿越有兩個狹縫的屏幕。在這個屏幕后還有一個屏幕，可用來探測電子通過狹縫后最終到達的位置。但是，你在探測屏幕上實際看到的是干涉模式：如果假設電子是波，你才會看到這種模式。波同時穿過兩個狹縫，然后當它向一個方向傳播時，它與自身相互干涉。然而在探測屏幕上，當它剛到達時，電子是以粒子的狀態被注意到，這與我們所預期的相同。事實上這個看起來非常奇怪的結果，是已經被重復無數次的實驗事實—所以我們必須接受這就是世界運行的方式。

雙縫干涉實驗：由穿過狹縫的波的干涉模式

雙縫干涉實驗：當粒子被發射出狹縫預期結果

雙縫干涉實驗：粒子（比如電子）穿過狹縫時實際上會發生什么：你會得到類似波的干涉模式，但是電子是作為粒子到達的。

薛定諤方程

由德布羅意提出的新圖像需要新的物理。與一個粒子有關的波到底有怎樣的數學形式呢？愛因斯坦已經將光子的能量E與光波的頻率f聯系了起來，通過公式　

我們知道頻率與波長有關。這里c 是光速。采用相對論的結果，我們可以將光子的能量與動量聯系起來。綜合上述結論可給出在光子的波長 λ與動量 p之間的關系式：　

其中h為普朗克常數。

基于此，德布羅意假設波長與動量之間的關系式應該對于任何粒子都成立。此時，最好先放棄你的直覺，不去想表現的像波的粒子究竟意味著什么，而是僅跟著數學的邏輯走下去。

在經典力學中，波（比如聲波和水波）隨時間的演化，可用波動方程來描述：其是一個微分方程，解為波函數，可以給出在任意時刻服從恰當邊界條件的波的形狀。

舉例來說，假設波沿在x方向延伸的弦傳播，在xy平面內振動。為了完全描述這個波，你需要知道在每個點x每個時刻t弦在y方向的位移。利用牛頓第二運動定律可知遵循如下波動方程：

v為波速。

上圖為在xy平面內弦振動的照片，這里的波可被余弦函數所描述。

上述方程的一般解相當復雜，反映出弦可以根據各種方式進行擺動的事實。并且你需要更多的信息（初始條件和邊界條件）來搞清楚到底是哪種運動。但是，作為一個例子，

函數描述了沿正x方向以角頻率ω傳播的波，則正如你所預期的，它是波動方程一個可能的解。

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薛定諤方程以薛定諤的名字來命名，1887-1961.

類似，應當有一個波動方程，來統御神秘的物質波隨時間的演化。它的解應該是波函數（不要把它想成實際的波），它會告訴你量子系統（比如：在箱子中運動的單個粒子）在時刻的所有信息。奧地利物理學家歐文·薛定諤（Erwin Schr?dinger）在1926年想出了這個方程的。對于在三維空間中運動的單個粒子，方程可被寫為如下形式：

其中為粒子的勢能，勢能是x, y, z ,t 的函數， m為粒子質量，h為普朗克常數。方程的解是波函數ψ（x,y,z,t）。

在一些情況下，勢能不依賴時間t。在這種情況下，我們經常通過考慮更簡單的時間獨立的薛定諤方程來求解這個問題，在這個方程中，ψ（x,y,z）僅依賴空間，有使得以下關系成立：

E其中為粒子總能量。則整個方程的解為：

這些方程可應用于在三維空間運動的單粒子，對于有任意粒子的系統，也有相應的方程來描述。如果不把波函數寫成位置和時間的函數，人們也可以將它們化為動量和時間的函數。

進入不確定性

我們可以從一個簡單的例子（比如在無限深勢阱中運動的單個粒子）出發來求解薛定諤方程，它的解與描述一個波的數學方程非常相似。

這個解到底意味著什么？它并不會給出粒子在給定時刻的精確位置，也不會給出一個粒子隨時間變化的軌跡。更確切的說，它在給定時間的所有可能位置（x,y,z）可以給出你一個值ψ（x,y,z,t）。這個值意味著什么？在1926年時，物理學家波恩（Max Born）提出了統計詮釋。他假設，波函數絕對值的平方

會給出在時刻t位置找到粒子的概率密度。換句話說，粒子在時間t出現在區域的概率由如下積分給出：

這個概率圖像與德布羅意關于粒子波長和動量關系公式有令人吃驚的聯系。海森堡在1927年發現，如果要測量一個運動粒子的位置和動量，人們有一個基本的精度限制。在某一方面如果想要測量的精度越高，其他方面人們能說的就越少。這并不是指測量儀器的質量問題，而是自然界根本就具有的不確定性。這個結果現在稱為海森堡的不確定性原理，且是常常用來引述量子力學奇怪現象的幾個結果之一。它意味著在量子力學里我們談論不了粒子的位置或軌道。

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海森堡（Werner Heisenberg）, 1901-1976.

“如果我們相信不確定性圖像，由于我們對于像‘電子在時刻在哪里’這樣的問題沒有明確的答案，換句話說，所有量子狀態的數學表示和狀態都只能給我們概率的結果”，布瓦塔說。“德布羅意、薛定諤和愛因斯坦嘗試提供一個真實的詮釋，比如：在真空中傳播的光波。但是，還有一些物理學家，泡利、海森堡和玻爾反對給出現實的圖像。對于他們而言，波函數僅僅是計算概率的一個工具。”

它真的適用么？

為什么我們要相信這個異想天開的想法呢？在這篇文章中我們已經展示了薛定諤方程，好像它是從空中生拉硬拽出來的，但是它實際來自于哪里呢？著名的物理學家理查德.費曼認為這是個無意義的問題：“我們從哪里得到這個方程？它不能由你所知道的任何知識來推導出來。它來自于薛定諤的大腦。”

然而，這個方程已經經受住了迄今為止的每一個實驗的考驗。“這是量子力學中最基本的方程”，布瓦塔說，“這是我們想要描述的所有量子力學系統（如：電子、質子、中子等系統）的出發點。”這個方程早期成功地描述了氫原子的離散能譜，促成了量子力學的建立，這也是薛定諤的動因之一。根據歐內斯特·盧瑟福的原子模型，像氫原子這樣的原子所發出的光的頻率應該是連續的。然而實驗表明：它并沒有連續變化，氫原子只放出特定頻率的光，當頻率改變時有跳躍。這個發現與傳統的哲學智慧背道而馳，傳統的哲學思想是支持由十七世紀的哲學家和數學家戈特弗里德·萊布尼茨所說的格言的：“大自然不會跳躍（nature does not make jumps）”。

在1913年尼爾斯·玻爾提出了一個新的原子模型，在這個模型中，電子被限制到了特定的能級。薛定諤將它的方程應用于氫原子，發現他的解精確重復了由玻爾設定的能級。“這是一個激動人心的結果，也是薛定諤方程最初的主要成就之一”，布瓦塔說。

由于無數成功實驗的支持，薛定諤方程在量子力學中已成為牛頓第二定律的類似物和替代品。