人類遺忘的難題解法，被GPT-5 Pro重新找出來了！

這事兒聚焦于埃爾德什問題#339，這是著名數學家保羅?埃爾德什提出或轉述的近千道問題之一，收錄于erdosproblems.com網站。該網站記錄了每道題目的當前狀態，其中約三分之一已解決，大部分仍待解。

此前該問題被標為處于“未解決”狀態，屬于待攻克的數學難題，不少人還在繼續研究探討。

直到最近，有人用GPT-5 Pro檢索后才發現，該問題實際在2003年就已被解決了。

尤其值得關注的是，GPT-5 Pro僅通過埃爾德什問題#339的圖片，直接定位到了關鍵文獻。

OpenAI研究員Sebastien Bubeck將此事分享出來后立馬引發大量網友關注。

By the way，陶哲軒的著名成果之一，就是通過“遍歷理論（ergodic theory）”工具，突破了“埃爾德什差異問題”這一困擾數學界幾十年的猜想。

問題詳情

具體來看，埃爾德什問題#339是數論中加法基方向的一個經典問題，表述為：

設A?N是一個r階基（即每個足夠大的整數都能表示為A中r個元素的和）。那么，能表示為A中恰好r個不同元素之和的整數集合，是否一定具有正的下密度？

此外，埃爾德什和格雷厄姆還提出一個相關問題：如果能表示為A中r個元素之和的整數集合具有正的上密度，那么能表示為A中恰好r個不同元素之和的整數集合，是否也一定具有正的上密度？

在GPT-5 Pro發現此問題已被解決前，網友們在網站上曾就此展開系列討論。

網友Adenwalla從著名的Waring’s Problem（華林問題） 入手指出，幾乎所有整數都可以表示為最多15個四次冪之和，但仍有無窮多個整數需要16個四次冪，即G(4)=16 but G?(4)=15。

并據此引發思考，這是否意味著加法基問題中的下密度結論可能不成立？

很快，Woett、BorisAlexeev等指出，華林問題里的例子是“允許元素重復”的情況，而埃爾德什問題#339要求“元素互不相同”，因此該例并不能構成反例，原問題的條件更為嚴格。

之后討論進一步深入。

zach Hunter試圖探索加法基在不同規模下的密度穩定性，Woett則提出了一些具體的集合構造，嘗試作為可能否定命題的反例。雙方圍繞“互不相同元素（distinct）”“下密度（lower density）”以及“有界倍增（bounded doubling）”等概念展開推敲。

最終，他們發現這些構造雖然能制造出和集大小存在稀疏甚至指數級間隙的例子，卻仍無法讓“能表示為恰好r個不同元素之和的整數集合”的下密度真正趨近于零，也就是說，這些反例構造并未成功否定命題。

就在網友們各執一詞、對問題是否成立仍存爭議之時。

msawhney提醒大家，其實這個問題早在2003年就已經被解決了。

核心依據是Hegyvari、Hennecart、Plagne發表于《J. reine angew. Math.》（即《Crelle》）第560卷、頁199-220的論文《A proof of two Erdos’ conjectures on restricted addition and further results》。

其中定理4直接構成了該問題的解答。

而找出這一答案的，正是GPT-5 Pro，它僅憑問題截圖，就準確定位到了這篇文獻。

關于保羅·埃爾德什

保羅·埃爾德什（Paul Erd?s）是20世紀最杰出、最多產的數學家之一，以其在數論、組合數學、圖論、概率論等領域的重大貢獻而聞名。

△圖源：維基百科

他一生發表了近1500篇論文，與超過500位合作者共同研究，其廣泛合作精神使數學界出現了“埃爾德什數（Erd?s number）”的概念，這一數字成為衡量數學家與埃爾德什學術關聯緊密程度的“榮譽指標”。

他1913年出生于匈牙利布達佩斯。4歲時，已能心算多位數乘法；10歲時，自學了全部中學數學課程，并開始研究數論。

1934年，21歲的埃爾德什從布達佩斯大學獲得博士學位，隨后因戰爭等的影響開始“漂泊”——

沒有固定職位，靠演講費、獎金和朋友資助生活，常年攜帶一個行李箱，輾轉于世界各地的大學和數學家家中，與同行合作研究、討論問題，平均每幾周就換一個地方。

埃爾德什一生以“問題驅動”的研究方式著稱。他不追求體系化理論，而是不斷提出、解決有趣的問題。他提出的數百個猜想至今仍活躍在數學前沿。

數論是埃爾德什投入最深、成果最豐的領域，他的工作直接推動了20世紀數論的發展，尤其在素數分布和加性數論方向影響深遠。例如，他與挪威數學家Atle Selberg，用初等方法證明了素數定理，成果震驚數學界。

埃爾德什也是拉姆齊數研究的奠基人之一，他將概率論引入組合數論，給出了拉姆齊數的下界估計。

他提出的著名“埃爾德什差異問題”，可追溯到上世紀三四十年代。

內容是，給定一個由+1和-1組成的無限序列（如 (1, -1, 1, -1,…)），定義“前n項的部分和”為S (n)，則“差異”是指所有部分和的絕對值的最大值。

埃爾德什猜想，任何這樣的序列，其差異都會隨著n的增大而無限增大（即不存在“有界差異”的無限±1序列）。

這一問題看似簡單，卻橫跨數論、組合數學與調和分析，成為20世紀最著名的未解決猜想之一。直到2015年，數學家陶哲軒才通過引入“遍歷理論”工具，取得了該猜想的部分突破。

即使在生命的最后幾年，埃爾德什仍堅持研究數學、撰寫論文。1996年，他在波蘭華沙參加學術會議時突發心臟病去世，享年83歲。

2024年，英國數學家Thomas Bloom開設了一個專門研究埃爾德什問題的網站。

One More Thing

加州大學歐文分校數學教授Paata Ivanisvili也發推文表示，GPT-5Pro在識別已發表論文中的嚴重缺陷方面表現出色。

五年前，我花了數天時間研究這篇論文，才發現了一個作者后來確認的漏洞。而GPT-5 Pro僅用18分鐘就找到了同樣的漏洞，還額外發現了幾個小問題。類似的情況我已經目睹過很多次了。

該推文還被OpenAI總裁Greg Brockman轉發了。

網友表示這是一個強大的應用場景：

使用GPT-5 Pro來驗證科學文獻，能夠極大地加快研究人員核實學術論斷和發現邏輯矛盾的過程。

還有網友安利提示詞小技巧：

在提示詞中加入“請深度閱讀——不要跳讀，不要掃描——每次處理1000行”（please deep read - no grep, no scan - 1,000 lines at a time），堪稱研讀科學論文的終極技巧。

另一個建議是進行循環性核查（do a circularity audit）。

埃爾德什問題官網：https://www.erdosproblems.com/faq