千禧年大獎難題，終迎來曙光！

今天，谷歌DeepMind與NYU、斯坦福四大頂尖機構，發布了一篇20頁的重磅論文——

他們用AI在三種不同流體方程中，發現了一系列新型不穩定「奇點」族。

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這些「奇點」是數學物理學中的重大謎團。

一般來說，數學家們描述「流體運動」時，常用納維-斯托克斯方程（Navier–Stokes equations）來表示。

生活中，氣流抬升飛機機翼，或是漩渦颶風形成，都屬于這一范疇以內。

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然而，在流體力學中，某些極端場景之下，這些方程會出現「崩潰」（break），預測出不可能存在的無限值。

一大關鍵挑戰在于，如何去找到方程中「不穩定奇點」？

由此，谷歌DeepMind團隊借助「物理信息神經網絡」（PINN），將方程直接編碼到神經網絡的損失函數中，最小化其輸出與方程要求之間的差異。

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論文地址：https://arxiv.org/pdf/2509.14185

結果，他們觀察到了一個清晰且出乎意料的模式：當解變得越不穩定時，其關鍵屬性之一會無限接近直線分布。

這揭示了，這些方程中此前未被發現的、具有全新底層數學結構。

簡單來講，當奇點越來越「不穩定」，其行為匯聚成線性分布，呈現出驚人的規律性。

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也就意味著，流體力學百年難題，被谷歌AI找了新解！

它將為數學、物理和工程學帶來全新突破，對天氣預報、洪水模擬、航空動力學，乃至心血管研究，意義重大。

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千禧年大獎難題，百年未解

萬事萬物，都遵循著定律。

幾個世紀以來，數學家們建立了各種復雜的方程，來描述流體動力學背后的基本物理原理。

他們希望精心構建出一些，讓理論與實踐相悖的場景，從而預測在物理層面絕無可能發生的情形。

在這些情形中，速度、壓力等物理量會趨于無窮，被稱之為「奇點」（singularity）或「爆破」 （blow up）。

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只有搞清楚了「奇點」，才能看到流體動力學方程的根本局限，加速人類理解物理世界運行方式。

其中，穩定性是奇點形成過程中的一個關鍵特性。

若是一個奇點在微小擾動下仍能保持穩定，它就被認為是「穩定奇點」。

反之，「不穩定奇點」的形成則需要極為苛刻的條件。

數學家們相信，復雜無邊界三維「歐拉方程」和「納維-斯托克斯方程」，不存在穩定的奇點。

1822年，法國數學家Henri Navier首次提出描述流體運動基礎方程。23年后，愛爾蘭數學家George Gabriel Stokes對其進一步完善。

這就是，「納維-斯托克斯方程」真正誕生的源頭。

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一直以來，數學家們仍未解決，其核心難題在于——證明方程解總是「光滑的」，或在某些條件下產生「奇點」。

簡單來說，平靜的海面突然掀起海嘯的原因，與這個關鍵問題的解決有著重要的聯系。

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「納維-斯托克斯方程」解的存在性與光滑性，是克雷數學研究所設立的六大「千禧年大獎難題」之一。

誰要攻克了這一難題，就能拿下100萬美元大獎。

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陶哲軒曾與合著者曾研究了納維-斯托克斯方程解的局部和全局行為。

這一次，谷歌DeepMind或將最先摘下這一難題的「圣杯」。

不穩定奇點，AI找到了

早在三年前，谷歌DeepMind聯手NYU斯坦福、布朗大學等團隊開始秘密攻關。

這個團隊，不僅有全球頂尖的數學家，還有著名的地球物理學家。

論文中，合作者們采用了一種全新AI方法，首次在三種不同的流體方程中，系統性地發現了一系列不穩定「奇點族」。

研究流程圖

研究過程，主要包含兩個主要階段：

1. 找解階段

首先在自相似爆破解的空間里「撒網」，找到可能成立的解，一個關鍵參數是標度率λ，以圖i伯格斯方程為例。

隨后，迭代方法優化機器學習流程（圖ii），并提升解精度。

實際算出來的候選解（圖iii）和其精度，會幫合作者調整數學模型和神經網絡結構。

比如，怎么變換輸入坐標、怎么設計輸出場，都屬于「歸納偏置」。

最重要的一步來了，研究人員采用「物理信息神經網絡」（PINN），搭配高斯-牛頓優化器與多階段精煉訓練方案，在尋找標度率λ同時，生成高精度的候選解。

2.分析階段

找到候選解之后，團隊通過偏微分方程將其線性化，來分析其穩定性。

結果，他們發現了「不穩定模態」——任何微小擾動，都會使系統偏離爆破解軌跡。

由此，通過量化穩定程度，最終找到了高精度的穩定/不穩定奇點。

如下所示，研究人員意外發現，隨著解的「不穩定階數」（即解偏離爆破的獨特方式數量）增加，參數λ的值形成一條清晰的直線模式。

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這種模式，在不可壓縮多孔介質（IPM）方程和Boussinesq方程中，清晰可見。

這暗示著，可能存在更多不穩定的解，而它們對應的λ值預計也將落在同一條直線上。

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此外，研究還展示了更多可視化的栗子——下圖是，其中一個方程所計算出的渦度 （Ω） 場。渦度是衡量流體在空間每一點上，旋轉劇烈程度的物理量。

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再比如，在發現的所有不穩定性中，沿著一個軸穿越同一渦度場的一維切片圖。

圖中顯示了奇點，隨不穩定性增加的演變過程。

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物理信息神經網絡：PINN立大功

之所以能發現這些奇點，谷歌DeepMind融合了多項ML技術。

具體來說，論文使用了「物理信息神經網絡」（PINN），去捕捉不穩定奇點。

傳統的神經網絡，需要從海量數據集中學習，而PINN則不同。

它直接嵌入物理定律，訓練網格去匹配方程的預期，通過最小化「殘差」，即網絡解與方程要求之間的偏離量，從而「學會」遵守物理規律。

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值得注意的是，DeepMind團隊并非簡單應用PINN，他們將數學家的直覺和洞察，嵌入到了AI的訓練過程中。

團隊還融合了機器學習技術，如二階優化器，開發出一個高精度框架，將PINN計算精度提升至前所未有的水平。

更直觀理解，其所處理的最大誤差，相當于在預測地球直徑時，將誤差控制在幾厘米之內。

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正如論文一作Yongji Wang所言，「通過嵌入數學見解，并達到極致精度，我們將PINN改造成為一種能夠發現『幽靈般』奇點的探索工具」。

數學新紀元，鎖定下一個圣杯

谷歌DeepMind最新研究，代表了一種數學研究的新時代——將數學洞察與AI融為一體。

它為流體動力學注入了全新的解，有助于數學家、物理學家、工程師攻克長期挑戰。

或許未來，計算機輔助證明，將能攻克科學領域世紀難題，迎來全新紀元。

今年1月，Demis Hassabis曾在一次采訪中暗示，團隊即將解決一個千禧年大獎難題，并未具體說明。

如今看來，他所指的便是納維-斯托克斯方程。