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作為一門古老的學科，數學的內容包括發現某種模式，并使用這些模式來表述和證明猜想，從而產生定理。

自20世 紀60年代以來，數學家們一直使用計算機來幫助發現猜想的模式和公式，最著名的案例是Birch and Swinnerton-Dyer conjecture（貝赫和斯維訥通-戴爾猜想），這個猜想是千禧年數學大獎的七個問題之一，是數論領域的著名問題。

但是，時至今日，計算機證明基礎數學重要定理的例子也并不多見。

現在，DeepMind的一項成果展示了更多的可能性：計算機科學家和數學家們首次使用AI來幫助證明或提出新的數學定理，包括復雜理論中的紐結理論（knot theory）和表象理論（representation theory）。

這些讓人驚喜的結果，今天發表在著名的科學雜志Nature上，其論文標題為“Advancing mathematics by guiding human intuition with AI”（人類直覺與AI推動數學的前進）。

在該論文中，作者團隊提出采用一種機器學習模型，來發現數學對象之間的潛在模式和關聯，用歸因技術加以輔助理解，并利用這些觀察進一步指導直覺思維和提出猜想的過程。

喬迪·威廉姆森教授（Geordie Williamson）是悉尼大學數學研究所所長，也是世界上最重要的數學家之一，他在純數學領域有著非凡的成績。作為該論文的合著者，他成功發揮Deep Mind的AI力量，在其的專業領域——表象理論中展開了大膽的探索猜想。

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圖丨Geordie Williamso

而熟悉人工智能的讀者對DeepMind并不陌生。這個AlphaGo背后的計算機科學家團隊，曾在2016年圍棋比賽中，讓AI成功擊敗世界冠軍。在那之后，DeepMind一直秉承的理念是，要用AI助力解決重大科學問題。

基礎數學無疑屬于重大科學問題的范疇（甚至可以說是地基）。正如Geordie Williamson教授所說：“數學問題一度被認為是最具智力挑戰性的問題……雖然數學家們已經使用ML來幫助分析復雜的數據集，但這是我們第一次使用計算機來輔助形成猜想，或為數學中未經證實的想法提出可能的突破路線。”

助力頂尖數學家證明數學猜想

這次研究中，AI幫助探索的數學方向是表象理論。表象理論屬于線性對稱理論，是利用線性代數探索高維空間的數學分支，而Williamson教授是全球公認的表象理論的領導者。在2018年，他成為倫敦皇家學會（Royal Society）最年輕的在世會員，該學會則是世界上最古老、可以說是最負盛名的科學協會。

Williamson教授說：“在我所研究的領域中，為了證明或反駁長期存在的猜想，有時需要考慮跨越多維度的無限空間和極其復雜的方程組”。雖然計算機長期以來一直被用來為實驗數學生成數據，但識別有趣模式的任務主要依賴于數學家自己的直覺。

眾所周知，數學家的直覺在數學發現中起著極其重要的作用——“只有結合嚴格的形式主義和良好的直覺思維，才能解決復雜的數學問題”。

然而，現在的情況有所改變。

如上圖所示，論文中描述了一種通用的框架方法，在這個框架方法之下，數學家可以使用ML工具來指導他們對復雜數學對象的直覺，驗證關系存在的假設，并理解這些關系。

Williamson教授就利用DeepMind的AI，在證明關于Kazhdan-Lusztig多項式的古老猜想的道路上離目標越來越近，當然，這些猜想涉及高維代數中的深度對稱性。可以說，Kazhdan-Lusztig（KL）是代數群表示論近40年來最重要的發展之一。

而來自牛津大學（University of Oxford）的Marc Lackeby教授和András Juhász教授，則進一步研究了這一過程。

他們發現了紐結的代數和幾何不變量之間驚人的關聯，建立了數學中一個全新的定理。這些不變量有許多不同的推導方式，研究團隊將目標主要聚焦在兩大類：雙曲不變量和代數不變量。兩者來自完全不同的學科，增加了研究的挑戰性和趣味性。圖2給出了不變量的一些示例。

研究團隊假設，在一個紐結的雙曲不變量和代數不變量之間存在著一種未被發現的關系。監督學習模型能夠檢測到大量幾何不變量和簽名之間存在的模式。如下圖所示，由歸因技術確定最相關的特征。

通過計算歸因技術確定的最相關的顯著子圖，分析這些圖與原始圖相比的邊緣分布，有助于進一步探索結構證據。

在紐結理論中，不變量不僅用于解決紐結之間的區別問題，還可以幫助數學家理解紐結的性質，以及它是如何與數學的其他分支相聯系的。

紐結理論本身就散發著無窮的魅力，毫無疑問，物理科學領域也深深地被其吸引著，紐結理論得到了廣泛的應用，從理解DNA鏈、流體動力學，一直到太陽日冕（the Sun’s corona）中的力的相互作用等。

Juhász教授說：“純數學家的工作方式是制定猜想并證明這些猜想，從而得出定理。但是，這些猜想從何而來呢？”

文章已經證明，在數學直覺思維的指導下，ML提供了一個強大的框架，可以在有大量數據可用的領域，或者對象太大而無法應用經典方法研究的領域，發現有趣且可證明的猜想。

Lackeby教授也表示：“使用ML來發現數學不同領域之間新穎和意想不到的聯系，一直是一件很有趣的事情。我相信，我們在牛津大學和悉尼大學與DeepMind聯合完成的工作中足以證明，ML可以成為數學研究中真正有用的工具。”

AI勇闖數學王國

論文的一作是來自DeepMind的Alex Davies博士。他認為，AI技術已經足夠先進，足以有力地推動許多不同學科的科學進步。其中，純數學就是一個典例。“我們希望這篇Nature雜志論文能給其他研究者帶來靈感和啟發，充分意識到AI在其研究領域中所擔任有用工具的潛力。”

Williamson教授說：“AI堪稱為一款非凡的工具。這項工作第一次證明了，它對像我這樣的純數學家的有用性。經驗直覺可以帶我們走很長一段路，但AI可以幫助我們找到人類思維可能并不總是容易發現的關聯。”

如其所言，直覺在許多人類追求的超常表現中扮演著重要的角色。

例如，它對頂級圍棋選手至關重要，AlphaGo之所以成功，部分源自于它能夠使用ML來學習人類直觀表現的游戲元素。同樣地，它也被認為是頂尖數學家的關鍵——拉馬努揚被譽為“直覺王子”，激發了著名數學家思考直覺在其研究領域地位的好奇心。

但與圍棋相比，數學又是一種與眾不同的、更具合作性的工作，因此AI在協助數學家完成相關方面的工作，的確具備卓有成效的空間和潛力。

對于AI和數學之間的關系能否融通共進的討論，在CCAI2019學術會議上，徐宗本院士也曾慷慨激昂地帶來主題為《AI與數學：融通共進》的報告，他提出，AI與數學在方法論上具有驚人的一致性。AI的基礎是數學，要想行穩致遠，首要考慮的是解決好數學問題；而AI的發展必然也會助力數學領域的研究。

論文中團隊也有著類似的希冀，他們表示，希望這項工作可以作為深化數學和AI領域之間合作的一個模型，充分發揮數學和ML各自的優勢，以達到讓人驚嘆的效果。

Williamson教授說，“對我來說，這些發現給出了足夠的提醒，智力并非是單一的變量，就像一個智商數字。顯然，智力的最佳定義，應該是將其視為一種多軸的多維空間：學術智力（academic intelligence）、情感智力（emotional intelligence）、社會智力（social intelligence）。

我希望AI能為我們提供另一個可以合作的智能軸，這個新的軸將有力地加深我們對數學世界的理解。”