GPT-5，你這家伙！

究竟還有什么事是我不知道的？

在一篇最新論文中，研究人員讓它挑戰了5個尚未解決的優化猜想。

結果它居然解出了其中3個！

更令人吃驚的是，其中有一道題，它甚至給出了與研究者預期完全不同的、同樣有效的證明方案。

和國際數學奧林匹克（IMO）那些為“人類天才高中生”準備的題目不同，這次的測試題需要博士水平的研究者花上幾天才能完成。

在論文里，研究者們還特意“挑釁”陶哲軒對大語言模型數學能力的印象——

它可不是“笨蛋”研究生，而是能展現出獨創性的“聰明”博士生。

前微軟研究副總裁、現OpenAI科學家Sebastien Bubeck表示：

這意味著GPT-5能夠解決一些真正的開放性數學問題。

接下來，就讓我們看看，這位AI數學天才是怎么煉成的。

“哥德爾”測試

如上所述，GPT-5這次挑戰的并不是奧賽題，而是高等數學里的簡單猜想。

求解這類問題不僅需要算術能力，還需要相當強的數學背景和邏輯推理能力。

研究人員把他們的測試稱為：哥德爾測試。

哥德爾測試里的問題需要人自己動腦、經過訓練才能解決，而且在現有文獻中找不到現成答案。

（注：這里哥德爾測試與哥德爾不完全性定理基本沒啥關系）

在這篇論文中，總共5個問題基本都來自組合數學（Combinatorial mathematics）的一個子領域——

子模最大化（submodular maximization）。

什么是子模最大化呢？

簡單來說，子模函數的核心在于邊際收益遞減。

假設有一個函數 f(S)，輸入是一個集合S，輸出是一個數值。

當集合越來越大時，增加一個新元素帶來的“增量收益”會越來越小。

而子模最大化，就是在給定的約束條件下，選擇一個集合，使得總收益 f(S)盡可能最大。

舉例來說，這就好像在社媒轉發視頻，第一個轉發的用戶往往能帶來很多觀看量（傳播給更多的人）。

但隨著轉發的人越來越多，每增加一個人的額外效果就越來越小（因為他的好友大部分已經看過了視頻）。

所以，關鍵是選出一批用戶（集合S），好讓總傳播量最大。

這就是子模最大化在實際問題中的優化目標，在測試中，GPT-5所應對的就是類似的優化問題。

GPT-5五中三

那么，GPT-5在這些猜想上的表現如何呢？

在五道測試題中，研究者給出最小化描述和參考文獻，沒有提供解題提示，讓模型自主生成解答，測試其數學推理能力。

總的結果如下：

• 當問題有單一、直接的推理路徑時，GPT-5表現良好。在五道題中，前三道題的證明接近正確。
• 對于第二題，GPT-5推導出的新近似證明既否定了原始猜想，又給出了有效解法。
• GPT-5對已知證明的改寫通常足夠，但略顯表面化：它傾向于跳過未變的步驟，并嚴格模仿原始結構，而非尋求更自然的替代方法，這類似人類的偷懶行為。
• GPT-5在第四題和第五題上均未成功，這兩道題需要結合至少2個不同文獻里的洞見，這種綜合推理能力似乎是GPT-5的主要局限之一。
• 在第五題上，GPT-5識別出了研究團隊心中所想的算法，但未能正確分析。
• 相比早期模型，GPT-5在基礎數學能力上顯示出明顯提升（至少在組合優化領域如此），并偶爾展現獨創性。
• 提示詞對性能影響顯著。當被要求提供完整證明時，GPT-5更傾向于保留中間步驟而非跳過，從而生成更完整和自洽的解答。
• 第四題和第五題的錯誤證明最初看似合理且令人信服，但仔細檢查后發現存在深層次缺陷。這凸顯了前沿模型在數學推理中的核心局限：輸出可能表面上正確，但本質上錯誤。

第一題：最大化“單調 + 非單調”的子模函數

在第一個題目中，GPT-5 的任務是最大化一個由單調DR-子模函數和非單調DR-子模函數組成的目標函數，約束條件是一個下閉凸集合。

研究者希望它不僅給出解，還要提供可量化的性能保證，說明算法輸出離理論最優解有多近，并要求提供嚴格的數學證明。

為了完成這個任務，GPT-5只能依靠對問題的理解和參考文獻，自主生成解答，沒有任何額外提示。

具體的prompt如下：

對此，GPT-5每步沿最“貪心”的方向微調解，然后用函數的結構保證最終結果接近最優。

對于GPT-5的回答，研究人員表示雖然GPT-5沒有設計全新的方法，但它緊貼參考資料，給出了總體正確的證明。

第二題：子模函數最大化的雙重標準（bicriteria）算法

在這道題里：

• GPT-5要最大化一個單調子模函數。
• 同時要滿足一個約束條件（p-system）。

也就是說，GPT-5面對的任務是：在更復雜的組合約束下，找到既能最大化函數又盡量滿足約束的解。

研究人員給GPT-5的提示里附上了兩篇關于子模最大化的雙重標準算法和p-系統約束下非雙重標準子模優化的論文。

具體的prompt如下：

GPT-5解題過程如下：

在第二題中，GPT-5給出的答案比研究者最初猜想的更合理，因為隨著約束復雜度增加（p 值變大），問題確實會更難。

整體來說，GPT-5 的推導基本正確，但有兩個小問題：

• 在某個關鍵不等式里，它多寫了一步，其實沒必要，這讓結果看起來有些復雜，但核心思路沒錯。
• 當約束最簡單（p=1）時，GPT-5忘記了某個參數的精確值，只給出了一個上界。

換句話說，它沒完全注意到在特例下可以算出更準確的數字，但總體邏輯還是對的。

總的來說，GPT-5能理解問題、給出合理的推導，偶爾會有些“懶”或者忽略細節，但整體表現已經非常接近研究者預期。

第三題：在凸集合約束下最大化弱DR-子模函數

第三題要求：在凸集合約束下，最大化一個具有這種放寬性質的連續單調函數。

prompt如下：

研究人員猜想：用文獻中類似Frank-Wolfe的算法來求解這個問題，可以保證得到相應的近似解。

GPT-5解題過程如下：

總體來看，GPT-5 的回答基本正確，但有些小問題。

之后，研究團隊又讓GPT-5生成了一個新的證明版本。

在新版本的回答中，GPT-5的回答更詳細，幾乎是從頭再來。

總體來看，GPT-5回答正確性較高，但仍有小細節和可讀性問題。

第四題：在基數約束下最大化部分單調的弱子模函數

第四個猜想是將非單調弱子模函數、m-單調性的放寬結合起來，研究弱子模且m-單調的集合函數最大化問題。

prompt如下：

研究人員假設：可以利用函數的m-單調性，對論文證明中使用的變量的取值得到新的界。

這些新的界在m>0時應優于論文中給出的界，并將它們代入同一論文的定理中，從而可以得到改進后的結果。

GPT-5的解題過程如下：

在這道題中，GPT-5并沒有真正給出這個問題的結果，它只是把已知的東西復述了一遍。

后續，研究者又讓GPT-5重新回答，以得到一個更好結果。

不過，在后續的回答中，GPT-5的表現依舊差勁。

在這道題上，GPT-5翻車了。

第五題：在Matroid交約束下最大化單調弱子模函數

最后一個猜想是關于在兩個matroid約束下最大化單調弱子模函數的問題。

研究人員假設，該論文的算法和分析方法應該可以很容易地擴展到兩個matroid約束。

prompt如下：

GPT-5解題過程如下（部分）：

在這道題上，GPT-5的回答在邏輯上和細節上都不可靠，輸出結果基本不可用。

最后，值得一提的是，在GPT-5剛發布時，它就被拿來測試過凸優化的問題并且成功。

那么，你看好GPT在數學上更進一步嗎？