貓貓運(yùn)動(dòng)方程，首次被物理學(xué)家破解！ |《美國(guó)物理學(xué)雜志》正經(jīng)研究

作者：量子位 2024-11-19 09:30:00

結(jié)果通過(guò)仔細(xì)研究，他成功構(gòu)建了一個(gè)能夠定性重現(xiàn)多種貓與人交互行為特征的貓貓運(yùn)動(dòng)方程。

貓貓和人的交互行為，竟然被物理學(xué)家用方程式寫出來(lái)了！

其成果還正經(jīng)刊登在了《美國(guó)物理學(xué)雜志》上。

起因就是這位名叫Anxo Biasi的小哥，有一天觀察起了自家貓貓，突發(fā)奇想：能否將貓視為一個(gè)在人產(chǎn)生的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，用物理方程來(lái)描述其行為？

結(jié)果通過(guò)仔細(xì)研究，他成功構(gòu)建了一個(gè)能夠定性重現(xiàn)多種貓與人交互行為特征的貓貓運(yùn)動(dòng)方程。

此前雖然物理學(xué)家已經(jīng)研究過(guò)貓的一些特性（比如貓總能四腳著地的能力），還有下圖這種用來(lái)描述貓?jiān)叫≡娇蓯?ài)的“黑洞貓”幽默比喻。

但這項(xiàng)研究是首次以方程的形式對(duì)貓的典型行為特征進(jìn)行建模。

甚至貓貓?jiān)谝归g瘋狂跑酷也被再現(xiàn)了。

還有貓貓通常會(huì)對(duì)主人的呼喚愛(ài)答不理，它們會(huì)在最喜歡的人的腿上待更久……

趴在主人腿上VS趴在陌生人腿上，be like：

網(wǎng)友們覺(jué)得甚是有趣，幫助大家理解一些經(jīng)典力學(xué)概念的例子+1。

真沒(méi)想到愛(ài)貓人士會(huì)做到如此地步。

貓運(yùn)動(dòng)方程，如何建立？

這位小哥將貓貓建模為一個(gè)點(diǎn)粒子，首先結(jié)合日常觀察以及各種討論中定義了貓貓的7種常見(jiàn)場(chǎng)景。

（點(diǎn)粒子，物理學(xué)中一種粒子理想化描述，主要特點(diǎn)是不占用空間。舉個(gè)例子，只要離得夠遠(yuǎn)，各種形狀的物體都會(huì)看似于一個(gè)點(diǎn)。）

明確指出的是，這是一項(xiàng)理論研究，沒(méi)有進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，所有結(jié)論都建立在日常觀察和物理建模的基礎(chǔ)上。

此次關(guān)注的是貓與人互動(dòng)的一個(gè)簡(jiǎn)單場(chǎng)景：一只貓和一個(gè)靜止的人在一起。

這7種行為分別是：

P1：貓休息時(shí)通常會(huì)與人保持一定距離。
P2：當(dāng)貓趴在人身上休息時(shí)（如趴在腿上、肚子上、背上），極小的刺激就可能使它們離開(kāi)這個(gè)位置（如一只蒼蠅、一個(gè)難以察覺(jué)的聲音、鄰近星系原子的β-衰變）。產(chǎn)生離開(kāi)所需的擾動(dòng)強(qiáng)度取決于貓對(duì)其所依靠的人的依戀程度。
P3：當(dāng)貓被人撫摸時(shí)，它們會(huì)前后擺動(dòng)。
P4：當(dāng)貓被人呼喚時(shí)，它們很少回應(yīng)。
P5：當(dāng)貓決定接近呼喚它們的人時(shí)，它們往往會(huì)在途中分心，無(wú)法到達(dá)對(duì)方身邊。
P6：晚上，貓咪會(huì)隨意在屋子里跑酷。（這種情況被稱為 “zoomies”）
P7：當(dāng)貓喜歡被人撫摸時(shí)，它們會(huì)發(fā)出呼嚕聲（發(fā)出柔和振動(dòng)的聲音）。

當(dāng)然，這些行為并不具有普遍性。有些貓也可能表現(xiàn)得不太明顯。

定義完之后進(jìn)行研究假設(shè)：貓的行為就像它們感知到人周圍有一種力。

作為初步近似，他們將貓的動(dòng)力學(xué)模型定義為在存在外部勢(shì)能（由靜止的人引起）和摩擦項(xiàng)的情況下，一個(gè)服從牛頓力學(xué)的點(diǎn)粒子。

其中x（t）表示貓?jiān)跁r(shí)間t相對(duì)于位于x=0處的人的位置，m>0是貓的質(zhì)量，并且?>0是摩擦系數(shù)，其值取決于每只貓。

將微分方程轉(zhuǎn)化為基于有理函數(shù)的形式。它提供了對(duì)平衡點(diǎn)的控制，這樣管理平衡點(diǎn)的數(shù)量、相對(duì)位置和穩(wěn)定性。

其中，g>0是耦合常數(shù)（從現(xiàn)在起將g簡(jiǎn)化設(shè)置為g=1，但這不會(huì)改變模型的定性圖像）；δ在[0，1]區(qū)間，反映了貓對(duì)人的依戀。

當(dāng)δ=0 時(shí)，點(diǎn)x=0（人的位置）是不穩(wěn)定的：貓對(duì)人沒(méi)有依戀。

當(dāng)δ＞0時(shí)，點(diǎn)x=0是穩(wěn)定的。并且δ值越大，貓的依戀越強(qiáng)。當(dāng)δ=1時(shí)，這表明貓對(duì)人有很強(qiáng)的依戀。

圖1：（a）貓依附在人身上，（b）人對(duì)貓來(lái)說(shuō)完全是陌生人。這兩種情況貓都處于靜止?fàn)顟B(tài)，處于三個(gè)平衡點(diǎn)。

此外，需要公式 (1) 中的摩擦項(xiàng)來(lái)減少能量。否則，貓?jiān)诨顒?dòng)一段時(shí)間后就不會(huì)趨于靜止?fàn)顟B(tài)，比如左右兩側(cè)∞狀態(tài)。

為了阻止貓的運(yùn)動(dòng)，需要?≥0，而且摩擦力必須與速度的奇數(shù)次方成正比。

最后要注意的是，貓是在三維空間中移動(dòng)的。然而，由于最重要的參數(shù)是貓和人之間的距離，我們假設(shè)貓沿著一條線移動(dòng)，這進(jìn)一步簡(jiǎn)化了分析。

還將跑酷和發(fā)出呼嚕聲模擬出來(lái)了

基于貓運(yùn)動(dòng)方程，小哥將貓的7種行為定性地表示了出來(lái)。

P1：貓咪休息時(shí)通常會(huì)與人保持一定距離。這種行為被中心外的全局最小值所捕捉。

如圖1所示，貓可能以不同的速度從許多位置開(kāi)始，但由于摩擦項(xiàng)，最終會(huì)到達(dá)最小值。

在大多數(shù)情況下，最終位置將是全局最小值，特別是對(duì)于貓和人之間的弱聯(lián)系（δ較小時(shí)）。

當(dāng)δ趨近于1時(shí)，x=0將成為額外的全局最小值。

P2，該陳述的第一部分由勢(shì)能平衡點(diǎn)x=0（人的位置）重現(xiàn)，因?yàn)樨埧赡芸吭谌松砩稀?/p>

該陳述的第二部分是通過(guò)勢(shì)能對(duì)δ的依賴性來(lái)捕捉的。也就是說(shuō)當(dāng)δ=0時(shí)， x=0是不穩(wěn)定的，這表明在任意小的擾動(dòng)下，貓都會(huì)偏離人。隨著δ的增長(zhǎng)，需要更強(qiáng)的刺激才能將貓從人身上分離。

P3， “當(dāng)貓被人撫摸時(shí)，它們會(huì)以振蕩運(yùn)動(dòng)來(lái)回移動(dòng)。” 這種效應(yīng)也在x=0附近的穩(wěn)定區(qū)域重現(xiàn)（對(duì)于δ＞0的情況）。

當(dāng)貓平靜地靠近人（動(dòng)能低）時(shí)，它們會(huì)圍繞人進(jìn)行小幅度的振蕩，并收斂到靜態(tài)，這歸功于方程中的摩擦項(xiàng)。

即使被陌生人撫摸（δ=0），貓也可能表現(xiàn)出這些穩(wěn)定的振蕩，但為此必須添加一個(gè)新變量（呼嚕聲）。

觀察結(jié)果P4和P5可以用偏心最小值與人（x=0）之間的勢(shì)壘來(lái)解釋，如圖1所示。

P4被呼喚的行為被建模為貓向人發(fā)出的沖動(dòng)，這會(huì)導(dǎo)致動(dòng)能增加，這種能量注入可能足以或不足以克服勢(shì)壘。由于能量不足，貓會(huì)在一段時(shí)間后，再次收斂到靜止位置。

如下圖藍(lán)色（較暗）和綠色（較亮）軌跡所顯示。

當(dāng)貓受到足夠強(qiáng)的刺激（沖動(dòng)）接近人時(shí)，也就來(lái)到了P5：“當(dāng)貓決定接近呼喚它們的人時(shí)，它們經(jīng)常在途中分心而無(wú)法接近人。” 這一觀察結(jié)果也用上圖綠色（較淺）軌跡所示。

這一現(xiàn)象中，貓的質(zhì)量也會(huì)起作用（Doge），貓獲得的速度會(huì)隨著質(zhì)量的增加而減小——

體重較輕的貓（例如小貓）會(huì)表現(xiàn)出精力充沛的動(dòng)作并對(duì)任何刺激做出反應(yīng)，而體重較重的貓（例如老年貓或喂食過(guò)度的貓）則不會(huì)表現(xiàn)出同樣的熱情。這也與觀察結(jié)果明顯一致。

除此之外，作者還將這一方程進(jìn)行了拓展：貓貓跑酷和呼嚕聲，這兩種行為也被重現(xiàn)了。

貓貓跑酷。

其中σ為常數(shù)，f (t) 為外部隨機(jī)強(qiáng)迫。在給定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生快速移動(dòng)的概率取決于摩擦力?和強(qiáng)迫σ的值。

這使我們能夠根據(jù)每只貓的特殊性調(diào)整模型。例如，小貓不斷表現(xiàn)出這些時(shí)期，對(duì)應(yīng)于較低的摩擦力和較高的強(qiáng)迫力，而老年貓則很少表現(xiàn)出這種活動(dòng)。

（a）顯示貓可能突然從一個(gè)平衡點(diǎn)跑到另一個(gè)平衡點(diǎn)，在那里停留一段時(shí)間，然后再次隨機(jī)地回到上一個(gè)平衡點(diǎn)。（b）為小貓（c）為老年貓

對(duì)于第7種行為，作者定義呼嚕聲是一種穩(wěn)定機(jī)制。

一部分原因在于當(dāng)貓被撫摸并開(kāi)始發(fā)出呼嚕聲時(shí)，人們通常會(huì)有繼續(xù)撫摸貓的沖動(dòng)，從而通過(guò)這種方式增強(qiáng)了過(guò)程的穩(wěn)定性。

以卡皮察擺作為類比，貓?jiān)诎l(fā)出呼嚕聲時(shí)會(huì)振動(dòng)，振動(dòng)可以作為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定機(jī)制，由此定義貓貓呼嚕聲運(yùn)動(dòng)模型：

振動(dòng)可以加強(qiáng)貓與人之間的有效聯(lián)系。

在原有貓方程基礎(chǔ)上，引入了外部振動(dòng)強(qiáng)迫來(lái)模擬這種效果。

其中G (x) 暫時(shí)為無(wú)約束函數(shù)，β和Ω分別為貓中振動(dòng)的振幅和頻率。此類驅(qū)動(dòng)項(xiàng)模擬了在時(shí)間振蕩場(chǎng)中移動(dòng)或受到周期性強(qiáng)迫的粒子。

好了，此舉從物理學(xué)的角度探索了貓與人之間的互動(dòng)。

作者表示，這種互動(dòng)模型旨在用于經(jīng)典力學(xué)的入門課程，讓學(xué)生更好地熟悉平衡點(diǎn)、勢(shì)壘、摩擦或外力等概念。

靈感來(lái)自于自家的貓貓

此次研究成果來(lái)自理論物理學(xué)家Anxo Biasi和他家的貓貓Eme。

他主要研究非線性演化方程的動(dòng)態(tài)行為，特別關(guān)注奇異點(diǎn)的形成、長(zhǎng)期動(dòng)態(tài)行為和湍流問(wèn)題，這在流體動(dòng)力學(xué)、玻色-愛(ài)因斯坦凝聚態(tài)和廣義相對(duì)論等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。

Anxo此前通過(guò)巴黎高等師范學(xué)院物理系的La Caixa青年領(lǐng)袖計(jì)劃，加入了加利西亞高能物理研究所（IGFAE）。

在IGFAE，他已經(jīng)完成了博士論文，并將加入弦理論相關(guān)領(lǐng)域的研究團(tuán)隊(duì)，繼續(xù)研究物理學(xué)和數(shù)學(xué)交叉領(lǐng)域的非線性演化方程。