在概率論的發(fā)展歷史上，先后出現(xiàn)過三種定義：經(jīng)典定義、頻率定義和主觀定義。

前兩種我們在先前文章中有提到，而主觀主義指的就是今天這篇文章中要講的貝葉斯概率。

貝葉斯概率是以發(fā)明人的名字命名的。貝葉斯本人是一名牧師，于1761年去世，但貝葉斯定理的正式提出和公開討論是在1763年，是由貝葉斯的同事代為發(fā)表的。

提起貝葉斯概率，在基于統(tǒng)計的機器學習崛起后，它的名字可謂響當當。而且它在概率論三定義中出現(xiàn)又是最晚，有后發(fā)優(yōu)勢。

因此，許多同學可能會覺得貝葉斯概率真是含著金鑰匙出生、一路順風順水的天賜之選啊。

然而，真正了解貝葉斯概率跌宕起伏的經(jīng)歷之后，可能會發(fā)出驚嘆，算法也如人生啊，人生要經(jīng)歷的磨難算法那里一點也不遜色。

在本篇文章中，我們先簡要一下貝葉斯概率的公式，然后列舉一個典型的通過貝葉斯概率來解決的郵件分類案例。

接下來，我們再來看一下歷史上貝葉斯概率所經(jīng)歷的從悲劇到喜劇的坎坷歷程，以及探討背后的深層次原因。

最后，我們將探討一下貝葉斯概率在AI中的廣泛應用。

1.貝葉斯概率公式

我們先看一下貝葉斯概率的公式：

這個公式中包含4項，下面分別說明一下：

先驗概率P(A)

主觀概率，指的是基于人們主觀判斷和信念而得出的關于某個隨機事件發(fā)生可能性大小的估計值。

值得一提的是，貝葉斯概率最開始的悲慘命運，其實主要與P（A）體現(xiàn)出來的主觀有關系。

后驗概率P(A|B)

后驗概率是在觀察到某些證據(jù)或數(shù)據(jù)后，對某一事件發(fā)生概率的重新評估。

似然函數(shù)P(B|A)

似然函數(shù)確切來說不是概率，因為是根據(jù)已經(jīng)發(fā)生的結果數(shù)據(jù)來計算。

全（邊緣）概率P(B)

全概率公式提供了一種方法，將一個復雜事件的總概率分解為若干個更簡單事件的概率的加權和。

似乎每一個都很難懂的樣子！先驗概率p(A)反而是看著最容易容易的一個。

后驗概率P(A|B)和似然函數(shù)P(B|A)其實都是條件概率，只是在貝葉斯中所處的位置和作用不同，因此在概念上區(qū)分開。

條件概率是指一個事件在另一個事件已經(jīng)發(fā)生的條件下發(fā)生的概率。以P(A|B)為例，它表示“在B發(fā)生的情況下A發(fā)生的概率”。

以下面幾何圖形為例，條件概率計算時，將得到的部分再次設定為整體，并排除掉沒有可能性的各個事件之后，重新計算出的比率，如下所示。

最后，再來看一下全概率或邊緣概率，如下幾何圖形所示。將樣本空間B分解為一系列互不相交的事件，并計算這些事件發(fā)生的概率之和等于1，計算公式如下。

P(B) = P(A1)*P(B|A1) + P(A2)*P(B|A2) + P(A3)*P(B|A3)

在現(xiàn)實中，全概率往往是最難求解的一項，因為促使樣本空間分解的因素往往列不全。

2.垃圾郵件過濾的典型案例

看完上面的數(shù)學公式部分之后，相信許多同學記不住。這不能怪你們自己，純粹的抽象數(shù)學公式就是比較反人性的。

有兩種方式可以幫忙大家更好地理解貝葉斯概率。一是了解貝葉斯概率的背景和真正目的；另一個是通過具體案例。

先來說第一個。貝葉斯當時為什么要提出這種概率出來呢？他想要解決的問題是什么呢？

實際上，貝葉斯的目的很明確，他想要解決的是逆概率問題。

下面是當時他要求解的問題：“想象一張桌子，上面均勻隨機地放著一個白球，而貝葉斯本人背向桌子，對白球位置一無所知。然后，貝葉斯必須從白球位置引出的結果出發(fā)，判斷這個位置，或者至少給出對應的可能性”。

當然，貝葉斯這個例子不好理解，后面在拉普拉斯那篇文章中，將給出一個更直觀的例子。

然而，既然我們知道貝葉斯概率是希望求解逆概率問題。那么，我們可以將上面的數(shù)學公式替換一下，這樣能幫助大家更好的理解。

相當于

因為，正概率說的是先有現(xiàn)象，然后去推測結果發(fā)生的概率。

那么，所謂的逆概率，就是在知道結果的情況下去反推現(xiàn)象（也可以理解成原因）出現(xiàn)的概率。

接下來，我們再通過一個垃圾郵件分類的例子，讓大家直觀地感受一下貝葉斯概率的應用。

構建郵件數(shù)據(jù)集

構建一個簡化的貝葉斯垃圾郵件過濾數(shù)據(jù)集。

郵件特征

只考慮兩個特征，即郵件中是否包含“免費”、“中獎”這兩個詞

郵件類別

郵件分為兩類，垃圾郵件（Spam）和非垃圾郵件（Not Spam）

先驗概率

假設我們從歷史數(shù)據(jù)中得知，垃圾郵件占所有郵件的30%，非垃圾郵件占70%

P(Spam) = 0.3

P(Not Spam) = 0.7

條件概率

假設在垃圾郵件中，包含“免費”的概率是80%，包含“中獎”的概率是70%

P(免費|Spam) = 0.8

P(中獎|Spam) = 0.7

在非垃圾郵件中，包含“免費”的概率是10%，包含“中獎”的概率是5%

P(免費|Not Spam) = 0.1

P(中獎|Not Spam) = 0.05

新郵件特征

假設我們收到一封新郵件，它同時包含“免費”和“中獎”兩個詞

使用貝葉斯定理計算后驗概率

我們需要計算這封郵件是垃圾郵件的概率P(Spam|免費，中獎)和不是垃圾郵件的概率P(Not Spam|免費，中獎)

使用貝葉斯定理，我們可以得到

由于我們假設免費和中獎是獨立的，我們可以得到垃圾郵件中的聯(lián)合概率

P(免費，中獎|Spam) = P(免費|Spam)* P(中獎|Spam) = 0.8*0.7 = 0.56

P(免費，中獎|Not Spam) = P(免費|Not Spam)* P(中獎|Not Spam) = 0.1*0.05 = 0.005

決策

因此，該封郵件是垃圾郵件的概率更大一些。

3.貝葉斯概率從悲劇到喜劇的三段經(jīng)歷

貝葉斯概率從誕生到AI時代的火熱，大致經(jīng)歷了以下三個階段。

第一階段：從出現(xiàn)到確立

核心事件1：1763年，托馬斯貝葉提出貝葉斯定理，求解逆概率問題；

核心事件2：1774年，拉普拉斯發(fā)表《論事件原因存在概率》，綜合了正、逆概率，貝葉斯正式作為逆概率的標準。

第二階段：從寒冬到曙光

核心事件1：拉普拉斯方法中的主觀置信度（即貝葉斯概率部分）受到強烈批評，如哲學家密爾形容為“心智失常”，“自稱是科學，其實是無知”，統(tǒng)計學家費希爾“謬誤的垃圾”；

核心事件2：20世紀初，數(shù)理統(tǒng)計學科出現(xiàn)，主流統(tǒng)計學將貝葉斯概率排斥之外；

核心事件3：1933年，安德烈.柯爾莫洛夫，提出概率公理，柯爾莫洛本人是頻率學派。

第三階段：從認可到爆發(fā)

核心事件1：20世紀50年代，薩維奇發(fā)布《統(tǒng)計學基礎》，提出貝葉斯公式是唯一的推理工具；

核心事件2：20世紀60年代，雷所羅門諾夫將圖靈的可計算性理論與貝葉斯公式結合起來，這就是人工智能一般性框架的前身；

核心事件3：20世紀80年代，蒙特卡洛模擬方法的出現(xiàn)，特別是馬爾科夫鏈蒙特卡洛方法（MAMC），給貝葉斯公式的實際應用帶來了革命。

4.貝葉斯概率坎坷歷程的原因剖析

從上面貝爾斯概率的經(jīng)歷中，可以發(fā)現(xiàn)貝葉斯概率在歷史上大部分時間之內(nèi)，都處于一種邊緣、受排斥的位置上。

它只是一種數(shù)學方法而已，原因到底為何呢？

一是計算復雜性，古代沒有計算機，計算器也沒有.而在貝葉斯定理中，計算后驗概率通常需要對所有可能的參數(shù)值進行積分，這在數(shù)學計算上是比較復雜的。

在計算技術不發(fā)達的時代，這種計算上的困難限制了貝葉斯方法的廣泛應用。但是，顯然這個原因頂多會導致不使用，不至于受排斥。

二是主觀性問題，貝葉斯定理依賴于先驗概率，即在觀察數(shù)據(jù)之前對事件發(fā)生概率的估計。

這種先驗概率的設定被認為帶有主觀性，因為不同的人可能會基于不同的信息或信念設定不同的先驗概率。

在科學界，尤其是頻率學派的統(tǒng)計學家看來，這種主觀性是不可接受的，他們更傾向于基于數(shù)據(jù)本身來估計概率，而不依賴于任何先驗信息。

在我們看來，主觀或者客觀更多的是的一種認識和利用世界的手段而已，顯然還有更深層次的原因。

三是秩序性問題，這才是貝葉斯定律在歷史上遭遇冷遇的根本原因。在哲學的理性主義時代，人們普遍認為真理是客觀存在的，這種秩序觀強調(diào)世界的運行遵循固定的、可預測的規(guī)律，而這些規(guī)律是獨立于人的主觀意識的。

換句話說，社會中的分層、權威等也是客觀決定的，不決定于人主觀的意識，否則社會只會變得混亂。

接著，我們再來探討一下，歷史上又是那些因素最終拯救了貝葉斯概率呢？

首先，計算機與馬爾科夫鏈蒙特卡洛（MCMC）方法的出現(xiàn)，從根本上解決了貝葉斯方法在算力和積分計算上的瓶頸。

當然，這不是主要原因，因為如果人們的認知不發(fā)生改變的話，再好的工具放在手里都起不到應有的作用。

其次，實用主義哲學的興起，為貝葉斯概率理論提供了堅實的哲學基礎，解決了主觀與客觀之間的長期爭論。

實用主義強調(diào)“好不好用”，而不刻意追求所謂的“正不正確”。在這一哲學背景下，貝葉斯方法中先驗概率的主觀性不再是障礙。

這一觀念的轉變，最終使得貝葉斯概率理論從邊緣走向主流，被廣泛接受為處理不確定性問題的有效工具。

5.貝葉斯概率在AI中的應用

貝葉斯概率理論作為統(tǒng)計學與人工智能領域的一顆璀璨明珠，其影響力深遠，構成了貝葉斯學習、貝葉斯推理、貝葉斯網(wǎng)絡、貝葉斯決策以及貝葉斯優(yōu)化等一系列核心理論的基石。

一是貝葉斯學習。它的優(yōu)勢在于其獨特的增量學習能力，它允許模型在訓練過程中不斷更新參數(shù)的概率分布。

這種動態(tài)調(diào)整的能力使得模型能夠適應不斷變化的數(shù)據(jù)環(huán)境，實現(xiàn)自我優(yōu)化和提升，特別適合在處理變化數(shù)據(jù)和在線學習場景中。

二是貝葉斯推理。它作為一種基于貝葉斯定理的統(tǒng)計推理方法，不僅能夠提供參數(shù)的點估計，更重要的是，它能夠提供參數(shù)的分布信息，這為理解和量化模型的不確定性提供了有力工具。

在AI領域，貝葉斯推理被廣泛應用于不確定性量化、模型選擇和模型比較，為決策提供更全面、更可靠的依據(jù)。

三是貝葉斯網(wǎng)絡。作為一種概率圖模型，通過有向無環(huán)圖（DAG）巧妙地表示變量之間的條件依賴關系，為處理復雜不確定性問題提供了強大的工具。

在知識表示、推理、預測和決策支持系統(tǒng)中，貝葉斯網(wǎng)絡的應用無處不在，它能夠幫助我們理解和預測復雜系統(tǒng)的動態(tài)行為，為決策提供科學依據(jù)。

四是貝葉斯決策。它將貝葉斯概率與決策理論完美結合，為在不確定性下做出最優(yōu)決策提供了系統(tǒng)性的解決方案。

它考慮了決策的后果和不確定性，通過最小化預期損失或最大化預期效用，可以幫助我們在復雜多變的環(huán)境中做出更適合的選擇。

五是貝葉斯優(yōu)化。通過構建目標函數(shù)的概率模型，貝葉斯優(yōu)化能夠高效地搜索最優(yōu)解，尤其適用于高維、非凸或計算成本高的優(yōu)化問題，如超參數(shù)調(diào)優(yōu)、神經(jīng)架構搜索和實驗設計等。

6.小結

人生就像是一個大戲臺，不同的人在舞臺上扮演著不同的角色。同樣，算法的世界也是一方廣闊的舞臺，不同的算法的命運也各不相同。

像貝葉斯算法，盡管生不逢時，但正如金子早晚會發(fā)光，貝葉斯算法也在人類文明逐步走向數(shù)字化、智能化的路途中，發(fā)展成為一個舉足輕重的算法。

并且，貝葉斯概率，如今也已經(jīng)超越了其最初的數(shù)學領域，成為了一種理解和解釋世界的哲學。