Lean Copilot，讓陶哲軒等眾多數學家贊不絕口的這個形式化數學工具，又有超強進化了？

就在剛剛，加州理工教授Anima Anandkumar宣布，團隊發布了Lean Copilot論文的擴展版本，并且更新了代碼庫。

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論文地址：https://arxiv.org/pdf/2404.12534.pdf

最新實驗表明，這個Copilot工具，可以自動化80%以上的數學證明步驟了！這個紀錄，比以前的基線aesop還要好2.3倍。

并且，和以前一樣，它在MIT許可下是開源的。

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而對此做出巨大貢獻的，是一位華人小哥宋沛洋，他是UCSB的榮譽CS本科生，加州理工學院計算+數學科學（CMS）系的SURF研究員。

網友驚呼：所以，陶哲軒現在的數學研究可以原地加速5倍了？

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LLM提出證明策略，人類無縫干預

團隊就發布了這個Lean Copilot的工具，希望啟動人類和LLM的協作，編寫出100%準確的形式化數學證明。

它解決了一個核心技術挑戰：在Lean中運行LLM的推理。

通過這個工具，我們就可以讓LLM在Lean中提出證明策略，允許人類以無縫的方式干預和修改。

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之所以開發這個項目，是因為自動化定理證明在如今仍是一項艱巨的挑戰。

我們都知道，LLM在做數學和推理任務時，時常會犯錯誤、產生幻覺，十分不可靠。

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因此，到目前為止，數學證明大多是手動推導的，需要仔細驗證。

像Lean這的定理證明工具，倒是可以形式化證明過程的每一步，但人類編寫起Lean，著實很費力。

在這種情況下，Lean Copilot的誕生就顯得意義重大。

讓陶哲軒多次震驚的神器：數學家還不會用就完蛋了

LLM可以作為輔助人類證明定理的工具，這一論點已經被陶哲軒多次證實了。

他前腳剛在博客里預測，26年AI將和搜索、符號數學工具結合，成為數學研究中值得信賴的合著者。

緊接著，佐證他觀點的研究就如雨后春筍一般源源不斷地冒出來。

去年6月，加州理工、英偉達、MIT等機構的學者，就構建了一個基于開源LLM的定理證明器LeanDojo。

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9月，微軟亞洲研究院、北大、北航等機構的研究人員，通過97個回合的「蘇格拉底式」嚴格推理，成功讓GPT-4得出了「P≠NP」的結論，破解了這個千禧年難題。

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在第97輪對話中，GPT-4得出結論，證明示例在沒有窮舉法的情況下無法求解，證明了結論為P≠NP

去年10月，陶哲軒在GPT-4、Copilot的幫助下，直接發現了自己論文中的一處隱藏bug。

在用Lean4形式化第6頁論點的過程中發現，他發現表達式

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在n=3,k=2時，實際上是發散的。

這個不太容易看出的bug能被及時捉住，多虧了Lean4。原因是，Lean要求他構建0<n?3，但陶哲軒只假設了n>2。由此，Lean無法基于負的0<n?3得到反證。

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這一發現直接讓陶哲軒瞳孔震驚。

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而在去年年底，陶哲軒直接成功地用AI工具，完成了形式化多項式Freiman-Ruzsa猜想證明過程的工作。

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最后，依賴關系圖已經完全被綠色所覆蓋，Lean編譯器也報告說，這個猜想完全遵循標準公理。

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在這個過程中，所有最前線的數學研究者，都在第一時間感受到了AI對于數學研究顛覆力量的直接沖擊。

Lean Coilot，讓Lean更好用

而今天，Lean Copilot的這項研究，讓Lean直接變得更強大了。

在這篇論文中，團隊基于Lean Copilot構建了一些工具，用于建議證明步驟（策略建議）、完成中間證明目標（證明搜索）和使用LLM選擇相關前提（前提選擇）。

實驗結果也充分表明了，跟Lean中現有的基于規則的證明自動化相比，Lean Copilot在輔助人類自動化定理證明上，是有效的。

Lean Copilot提供了一個通用框架，可以通過CTranslate 2在本地，或者在服務器上運行LLM的推理。

通過這個框架，用戶就能創建各種自動化證明工具。

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Lean是一個在數學家中很受歡迎的證明助手。如下圖所示，Lean中的一個證明，是由一系列被稱為策略（tactics）的證明步驟組成。

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從整個定理開始作為初始目標，策略反復地將當前的目標轉化為更簡單的子目標，直到所有目標都被解決。

用戶在由VSCode驅動的IDE中交互編寫策略，在右邊的infoview面板中顯示目標。

生成策略建議

利用Lean Copilot，團隊構建出了suggest_tropics，一種用LLM生成策略建議的工具。

而它本身，也是一種策略。

應用時，它將當前目標輸入LLM，并且從LLM獲取生成的策略候列表。

它會查看每個選項，看它們是否會 1）導致錯誤；2）結果沒有錯，但不能完成證明；3）順利完成證明。

如果是1），這個策略就會被刪除。

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只有無錯誤的策略，才會顯示在右邊的視圖面板中。

其中，成功完成證明的策略，使用綠色標記（類別3）；沒有錯誤改變證明目標，但未完成證明的策略，使用藍色標記（類別2）。

注意！當所有列出的策略都屬于類別2時，這個信息對于用戶來說，可能極有價值。

在這種情況下，剩余目標的信息，可以直接幫助用戶選擇策略，作為下一個中間證明步驟。

看到建議后，用戶可以選擇是否接受，或使用它們作為靈感來源，制定新策略。

比如，我們在Lean代碼中定義了一個定理add_abc，它的初始目標如圖3右所示。

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當我們輸入suggest_tropics時，會在右邊看到策略建議。

第一個策略顯示為綠色，表示證明已成功完成。

接下來三個建議均為藍色，這就表明無法直接完成證明，但不會導致錯誤。

因而，它們很有可能是有效的中間證明步驟！

同時，剩余子目標也顯示了出來。

而Tactic state字段顯示No goal，是因為至少有一個策略建議可以被證明。

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搜索完整證明

此外，因為人類和機器都不能始終如一地產生正確的策略，因此在這個過程中必須回溯、探索不同的替代方案，這個過程就是證明搜索。

當是上面所說的Suggest_tropics，僅能生成當前步驟的策略，不具備搜索多策略證明的能力。

為此，團隊將其與基于規則的證明搜索工具aesop結合起來，構建了一個基于LLM的證明搜索工具。

Aesop會將最佳優先搜索作為Lean的策略實施，并且允許用戶配置搜索樹的擴展方式。

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搜索樹是由作為節點的目標組成。

起初，它只有原始目標作為根節點。在每一步中，aesop都會選擇最有希望的未擴展節點，通過應用策略對其擴展，將生成的節點添加為子節點。

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而當aesop找到一條從根源到可輕松解決的目標的路徑，就證明搜索成功了！

因此，aesop的性能關鍵取決于用戶是否配置了有效的規則集。

這就可以看出，aesop缺乏靈活性。因此，Search_proof通過在每一步中由suggest_tropics生成的目標相關策略，來增強aesop的規則集，讓它變得更加靈活。

對于圖3中的原始目標，用戶只需輸入search_prrof，找到可以解決目標的完整證明，就顯示在了信息視圖中（圖5右）。

可以看到，由于發現了成功的證據，所以剩余的Tactic state是No goals。

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選擇注釋好的前提

此外，定理證明中另一項具有挑戰性的重要任務是，找到減少或完成證明的相關前提。

除了源碼庫和標準庫中有大量前提，Lean還有一個大型數學庫（Mathlib）。

然而，從所有庫中搜索候選前提，極其困難且耗時耗力。

所以許多人都試圖，能在Lean，或其他的證明助手中得到輔助，或自動完成這一過程。

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在Lean中，最先進的前提選擇方法是，直接在Lean中實現的基于隨機森林（random forest）的框架。

然而，前提選擇任務非常適合檢索增強型LLM，即在大模型訓練期間訓練檢索矩陣（前提嵌入），以估計證明目標與候選前提之間的相關性。

給定推理時的證明目標，首先將目標編碼成一個向量，然后在前提嵌入和目標向量之間執行矩陣向量乘法。

然后，為了選擇前k個前提（其中k可以是一個超參數，決定用戶想要返回多少個前提），這時只需返回得分最高的k個前提。

而要在Lean中執行推理任務，除了Lean Copilot提供的快速推理外，還需要一個高效的矩陣乘法庫和一個C++的numpy矩陣閱讀器。

研究人員采用了來自CTranslate2的矩陣乘法函數，和來自Libnpy的C++快速numpy文件閱讀器。

他們再次通過FFI機制，將這些數鏈接到Lean。

因此，前提選擇的策略可以非常高效地運行，因為前提嵌入可以預先計算，所有后續操作都可以使用上文介紹的庫在C++中快速完成。

在獲得返回的前提后，研究者進一步用有用的信息對其進行注釋。

這里將所有前提所分為兩類：可直接在當前環境中使用的前提（范圍內前提）和不可直接在當前環境中使用的前提（范圍外前提）。

這取決于是否導入了所需的軟件包。

如果已經導入了前提所需的包，則可以輕松使用該前提。如下圖6顯示了帶注釋的范圍內前提。

圖7所示是帶注釋的范圍外前提。

下面舉個使用「前提選擇」的例子，對于圖3中的定理add_abc，可以直接在證明中輸入select_premises（圖8左）。

然后，相關前提的列表，就會出現在信息視圖中（圖8右）。

對于這個簡單的定理，可以清晰看到所選的前提確實相關，因為它們都與自然數和加法規則有關。

在這種情況下，所選的4個前提都在當前范圍內，這意味著它們的模塊已經導入。

如上，便是研究人員通過Lean Copilot構建的三個實用的證明自動化工具，用于策略建議、搜索證明和前提選擇。

81.2%的證明步驟，全都自動化了

通過Lean Copilot框架，研究人員憑經驗提出了假設——在Lean交互式定理證明（ITP）中進行人機協作是有益的。

由于Lean中的定理證明過程，主要以策略證明為主。

因此，在具體實驗中，作者主要評估了用于「策略建議」，以及「證明搜索」的證明自動化工具。

總而言之，aesop是當前是一種用于證明搜索，最先進的基于規則的證明自動化工具。

研究人員在兩種情況下，驗證了基于LLM的搜索證明與aesop相比的有效性：

（1）自主證明定理（LLM獨立完成）

（2）協助人類進行定理證明（人類與AI協作）

此外，研究者還將搜索證明與策略建議進行了比較，以證明除了單一策略建議之外，搜索證明體現的優勢。

研究Lean Copilot如何有效地幫助人類進行ITP的過程，類似于人類在軟件編程中使用Copilot的范式。

也就是說，當我們面對一個目標時，首先會調用Copilot，看其是否可以直接解決問題。

如果不能，我們會進一步簡化目標，然后再次嘗試Copilot。然后，一直重復上述過程，直至Copilot成功解決剩余目標。

而研究人員便是通過這樣的迭代協作范例中，去查看每個證明自動化工具可以自動化多少人力。

具體結果，如下表1顯示。

證明搜索（search_proof）可以自動證明64%的定理（50個中的32個），明顯高于aesop和策略建議（suggest_tropics）。

當用于輔助人類時， 證明搜索僅需要平均1.02個手動輸入策略，這也比aesop（3.62）和策略建議（2.72）更好。

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最后，對于每個測試的定理，作者計算了三個工具中每一個可以自動化的證明步驟的百分比。

結果發現，證明搜索可以自動完成定理中約81.2%的證明步驟，明顯高于策略建議（48.6%）和aesop（35.2%）。

總之，證明搜索的性能比策略建議，要高出1.67倍，比基于規則的基線aesop高2.31倍。

通過Copilot在Lean中進行本地LLM推理

Lean Copilot中的tactic建議、證明搜索和前提選擇，這三個任務在本質上可能看起來不同，但對于用戶體驗的要求是相似的。

它們都需要足夠快速地生成響應，具有適中的計算需求，同時在Lean中運行。

用戶之所以有這些要求，是因為Lean本身在大多數情況下都能非?？焖俚靥峁┉h境反饋（比如剩余目標，錯誤信息，類型信息等）。

這種快速，跟證明定理的本質是一致的——它需要連貫的推理。

如果Lean Copilot需要用戶等待很長一段時間，那么人類和AI之間的協作就很難發揮作用。

同樣，我們也非常希望滿足低計算的需求。因為Lean中的定理證明本身不需要GPU，可以在用戶本地的筆記本電腦上運行。

因此，能夠在大多數硬件（包括沒有GPU的筆記本電腦）上高效運行，對于Lean的用戶就非常重要。

因為用戶在編寫證明時，可能無法訪問支持CUDA的GPU。

因為需要滿足快速推理和低計算需求，而且所有流行的高效深度學習框架都是在Python中，團隊想到的一個自然的解決方案，就是在Python中托管模型(本地或遠程)，然后從Lean向模型發出請求。

然而，這種方法會受到進程間通信的開銷的影響，并且它需要用戶執行額外的設置步驟，并不適合Lean的傳統工作流程。

為了克服這些問題，Lean Copilot通過外部功能接口(FFI)在Lean中本地運行LLM。

FFI是一種機制，可以用一種語言編寫的程序調用另一種語言的子程序。

Lean部分用c++實現，可以與c++高效互操作。

程序員可以在Lean中聲明一個函數，但在c++中實現函數體。實現會被編譯到一個共享庫中，并動態鏈接到Lean。

默認情況下，我們采用的是LeanDojo預訓練的repver模型。它基于一個編碼器-解碼器轉換器，BVT5，它將輸入字符串映射到輸出字符串。

Lean Copilot通過將模型包裝成一個對字符串操作的c++函數，使其在Lean中可運行，該函數可以通過FFI在精益中調用。

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華人作者立大功

最新論文中的三人團隊，也是23年6月開源平臺LeanDojo其中的作者。

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論文地址：https://arxiv.org/pdf/2306.15626.pdf

Peiyang Song（宋沛洋）

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宋沛洋是加州大學圣巴巴拉分校創意研究學院（CCS）的計算機科學榮譽本科生，導師是Richert Wang和Phill Conrad 。

與此同時，他還是加州理工學院計算與數學科學系（CMS）的SURF研究員，由Anima Anandkumar教授和Kaiyu Yang博士共同指導。

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另外，他還是UC伯克利建筑實驗室的研究員，與Tim Sherwood和Dr. Jeremy Lau（谷歌）一起合作。

他的研究興趣是機器學習（ML），涉及自然語言處理（NLP）和計算機視覺（CV）等應用領域，以及系統和編程語言（PL）等基礎理論。

宋沛洋最近的研究主要有兩個方向。

一是神經符號推理和人工智能數學（AI4Math），將大模型與交互式定理證明器（ITPs）相結。

另一個是基于時序邏輯的高能效機器學習。

Kaiyu Yang（楊凱峪）

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楊凱峪是加州理工學院計算+數學科學（CMS）系的博士后研究員，導師是Anima Anandkumar。

他曾在普林斯頓大學獲得了博士學位，導師是Jia Deng，還曾與Olga Russakovsky、陳丹琦一起工作。

他的研究重點是神經符號人工智能，旨在使機器學習能夠進行符號推理，希望通過兩個方向實現：

（1）將機器學習應用于符號推理任務，如形式邏輯或自然語言中的數學推理和定理證明；

（2）將符號組件引入機器學習模型，使其更具可解釋性、可驗證性和數據高效。

目前，他正在研究能夠理解和推理數學的人工智能。數學推理是人類智能的一個重要里程碑，它有可能改變科學和工程中的許多重要問題，比如解決偏微分方程和公式驗證。

Anima Anandkumar

Anima Anandkumar現在是加州理工學院計算和數學科學教授。

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她的研究興趣主要集中在大規模機器學習、非凸優化和高維統計等領域。

特別是，她一直在帶頭開發和分析機器學習的張量算法。

張量分解方法具有極高的并行性和可擴展性，可應用于海量數據。它可以保證收斂到最優解，并對許多概率模型（比如Markov模型）輸出一致的估計結果。

更廣泛地說，Anandkumar教授一直在研究加速非凸優化的高效技術。

參考資料：

https://arxiv.org/abs/2404.12534

https://github.com/lean-dojo/LeanCopilot

https://twitter.com/AnimaAnandkumar/status/1782518528098353535