德國數學家大衛 · 希爾伯特（David Hilbert）是二十世紀最偉大的數學家之一，被后人稱為「數學世界的亞歷山大」。他對數學領域做出了廣泛和重大的貢獻，研究領域涉及代數不變式、代數數域、幾何基礎、變分法、積分方程、無窮維空間以及物理學和數學基礎等。1899 年出版的《幾何基礎》成為近代公理化方法的代表作，且由此推動形成了「數學公理化學派」。

David Hilbert。

1900 年 8 月 8 日，在法國巴黎舉辦的第二屆國際數學家大會上，大衛 · 希爾伯特提出了新世紀數學家應當努力解決的 23 個問題。這 23 個問題統稱「希爾伯特問題」，共分屬四大塊：1 至 6 屬于基礎數學問題，7 至 12 屬于數論問題，13 至 18 屬于代數和幾何問題，19 至 23 屬于數學分析問題。這些問題成為了后世數學家們努力攻克的難關，并對現代數學的研究和發展產生了積極和深刻的影響。

一個多世紀過去了，這些問題中的大多數得到了圓滿解決或部分解決，但有些依然未能解決，其中包括第十二個問題「一般代數數域的阿貝爾擴張（Abelian extension）」。就其定義而言，阿貝爾擴張是一類重要的域擴張，設 K 是域 F 的伽羅瓦擴域，若其伽羅瓦群 G(K/F) 為一阿貝爾群，則稱此擴張為阿貝爾擴張，此時，K 稱為 F 上阿貝爾擴域。

1912 年，德國數學家埃里希 · 赫克使用希爾伯特模形式研究了實二次域的情形，虛二次域的情形用復乘理論已基本解決。一般情況下的阿貝爾擴張則尚未解決。

圖源：wikipedia。

其實，在希爾伯特提出他的 23 個問題清單前不久，數學家們就發現了一些與有理數相關的特定數字的構建塊，其中這些有理數可以使用整數比例來表示。巧合的是，這一發現是解決第 12 個問題的基礎，要求尋找與有理數以外的數字系統相關的構建塊。

經過數學家們數十年不斷的研究探索，今年 3 月初發表在 arXiv 上的論文《Brumer–Stark Units and Hilbert’s 12th Problem 》終于描述出了希爾伯特 100 多年前尋找的用于廣泛數字系統的構建塊，但是得出的答案依賴一些非常現代的觀點。

論文地址：
https://arxiv.org/pdf/2103.02516.pdf

論文作者分別是杜克大學數學系教授 Samit Dasgupta（左）和印度科學研究院數學系教授 Mahesh Kakde（右）。

對于這項研究，美國數學家、加州大學圣地亞哥分校和哈佛大學名譽教授 Benedict Gross 表示：「這是我們期待已久的事情，他們確實取得了一項重大突破。雖然與希爾伯特的想法完全不同，但這就是數學的魅力。你永遠無法預測以何種方式解決問題。」

在解讀這兩位數學家的研究成果和方法前，我們首先來了解下希爾伯特第 12 個問題的數論基礎以及百年來數學家們在此問題上做出的種種努力和嘗試。

數論基礎：表達式的根

希爾伯特第 12 個問題是建立在數論基礎上，是研究數字的基本算術性質，包括多項式表達式的解，比如 x^3 + 2x − 3。特別地，數學家經常研究這些表達式的根，使多項式等于零的 x 的值。

數論家經常根據多項式的系數類型來分類多項式。以有理數為系數的系數相對簡單，是研究的共同目標。

「我們從有理數開始，」杜克大學的數學家 Samit Dasgupta 說，他是這項最新研究的作者之一，還有一位合作者是來自印度科學研究院數學系教授 Mahesh Kakde。并表示道：「這是數論的基本系統。」

有時有理系數多項式的根本身就是有理數，但情況并非總是如此。這意味著數學家想要找到所有有理數多項式的根，需要在一個展開的數系統中尋找：復數，包括所有有理數和實數，加上虛數 i。

當在復平面上繪制多項式的根時，實數沿著 x 軸，純虛數沿著 y 軸，某些對稱性就會出現。這些對稱性可以用來重新排列這些點，排列它們的位置。如果你能以任何順序應用對稱性得到相同的結果，那么多項式是阿貝爾式的。但是如果你應用對稱性的順序改變了結果，那么這個多項式是非阿貝爾式的。數論家對阿貝爾多項式最感興趣，同樣是因為它們的簡單性，但它們很難區分。例如，x^2− 2 是阿貝爾式的， x^3 − 2 則不是。

來自俄勒岡大學的 Ellen Eischen 說：「要想得到非阿貝爾式，你不必走得很遠。」

除了這些對稱性之外，阿貝爾多項式還有一個顯著的特點，那就是試圖用簡單而準確的術語來描述多項式的根。例如，很容易準確地描述多項式 x^2−3 的根：多項式的根是正負根 3。但是對于指數較大的復雜多項式來說，要寫出它的根是很困難的。

當然，也有變通的辦法，「你可以用數字來近似『多項式的根』，」Eischen 說。但如果你想用一種明確的方式寫下來，只能用有限的方式來寫。

然而，具有有理系數的阿貝爾多項式是特殊的：總是可以從固定的構建塊集合中精確地計算它們的根。這個發現被證明是如此的強大，它啟發了希爾伯特提出了他的第 12 個問題，而這一切都歸功于一組被稱為單位根的數字。

單位根

單位根是一個看似簡單卻非常重要的概念。數值上，它們是多項式的解，其中，變量的冪被設為 1。比如， x^5 = 1 或者 x^8 = 1。這些解是復數，它們由指數中的數字表示。例如，5 次單位根就是 x^5 = 1 的五個解。

但是單位根也可以用幾何來描述，而不用方程。如果把它們畫在復平面上，這些點都在一個半徑為 1 的圓上。如果你把圓看作一個時鐘，那么在 3 點鐘指向，你總會有一個單位根，其中 x=1，因為 1 對任何冪仍然是 1。剩下的單位根在圓的周圍等間距分布。

19 世紀，在希爾伯特提出數學問題清單之前，數學家們發現，單位根可以作為他們想要研究的特定數字集合的「構建塊」：具有有理系數的阿貝爾多項式的根。如果你把單位根簡單地組合（用有理數加、減、乘）起來，你就能描述出所有這些期望的根。例如，5 的平方根是阿貝爾多項式 x^2-5 的根，并且可以表示為不同五次單位根的和。這與素數構建整數塊的方式類似。

因此，單位根需要精確的構造塊，你需要用有理系數完美地描述阿貝爾多項式的根。另一方面，任何單位根的組合都會產生一個數，這個數是某個有理系數阿貝爾多項式的根。這兩者有著千絲萬縷的聯系。

希爾伯特在提出他的第 12 個問題時，想要讓數學家們找到阿貝爾多項式根的構造塊，它的系數來自有理數以外的數系統。換言之，對于其他數系統單位根有什么相似之處？

幾十年未解決的難題

這是一個雄心勃勃的問題，這也是它出現在希爾伯特清單上的原因。他猜想這個問題是可以回答的，因為他在提出這個問題時，就對另一種數字系統（稱為虛二次域）組成構建塊的描述方式有一個構想——大體上，該系統僅包含有理數和負數的平方根。幾十年后，他的猜測被證明是正確的。

倫敦帝國理工學院的 Alice Pozzi 說：「該問題有兩種情況：『有理』情況和虛二次域情況。」希爾伯特希望以與這兩種已知情況相似的方式描述其他數字系統的基本組成。這意味著要使用復分析（一種研究復函數的數學理論）。

但是在 20 世紀 70 年代，希爾伯特的第 12 個問題已經提出幾十年之后，數學家 Harold Stark 猜想可以借助 L 函數破解這個問題。

L 函數是一類重要的復變數函數，通常以無窮級數表示，它是黎曼ζ函數的推廣，黎曼ζ函數如下：

幾個世紀以來，數學家都知道 L 函數是神秘并且極有意義的，它們給出了π等重要常數的無窮級數表示法。

在這種直覺的基礎上，Stark 能夠使用 L 函數來模擬其他數字系統的單位根。然而，盡管數學家認為 Stark 的猜想是正確的，并且已經使用計算機分析法對其進行了廣泛的測試，但他們并沒有獲得任何成功的證明。

Darmon 說：「據我們所知，要證明 Stark 的猜想真的很困難，五十年來幾乎沒有任何進展。」因此，Stark 的猜想只是提供了一個簡單的思路，他猜想可以使用 L 函數從其他數字系統找出含系數阿貝爾多項式的根的構建塊，但是沒人知道如何證明這一點。

更糟糕的是，Stark 的方案只提供了實際描述組成構件塊所需要的一半信息。就像要在地圖上尋找一個位置，只提供了經度，還需要緯度才能找到特定的地點。

20 世紀 80 年代，Benedict Gross 發表了 Stark 方案的修改版本來繼續這項數學研究。希爾伯特和 Stark 都曾考慮使用復數，而 Gross 使用了 p 進數（p-adic numbers）。

這兩種方法都是標準數字的替代方案，標準數字使用不同的方法來確定兩個數字是否接近。

Benedict Gross。

利用 p 進數可以重寫數學中的許多概念，其中包括 L 函數。實際上在現代數論中，p - 進 L 函數與復 L 函數的關系非常密切。

即便如此，起初 Gross 將復數轉換為 p 進數似乎卻沒有讓 Stark 猜想的證明問題更進一步。在隨后的幾十年中，隨著數字理論領域 p 進數數論的發展，Gross 的 p 進數猜想變得容易了一些。

Darmon 說：「借助 p 進數分析能夠得到許多有趣的結果。」事實證明，相比于復數，使用 p 進數更容易解決數學中一些重要的問題，希爾伯特的第 12 個問題恰恰如此。

另辟蹊徑：計算機程序找到數字系統的構建塊

今年 3 月，杜克大學教授 Samit Dasgupta 和印度科學研究院教授 Mahesh Kakde 發表的這篇論文首次使用 p - 進數 L 函數回答了希爾伯特關于獨立大型數字系統的問題。這些數字系統被稱為「全實域（totally real field）」，是有理數的延伸，并包含給定多項式的一個根。

p - 進數 L 函數。兩位教授通過 Deligne–Ribet 和 Cassou-Nogues 構造了一個 p 進數亞純函數，并滿足插值性。

2004 年，Dasgupta 在其博士論文中首次提出了所需要的最終公式——對 Gross 的猜想進行了改進。此后的十年里，利用 p 進數數字理論的發展，他又先后發表兩篇論文并最終證明了 Gross 的猜想。但這還不足以解決希爾伯特的第 12 個問題，因為與 Stark 猜想一樣，Gross 的猜想只提供了精確描述構建塊所需的兩個數字之一。

在過去的三年里，Dasgupta 和 Kakde 合作想要證明能夠提供構建塊所需的兩個數字的 Gross 猜想，盡管看起來可能無法實現。

Kakde 曾說道：「我們兩人都非常樂觀。有時會遇到難以解決的障礙，但幸運的是，我們一直在取得進展。」

直到 2020 年，他們終于有了突破，證明了與全實域相關的精確構建塊的確存在。換言之，他們知道自己想要實現的東西就在某個地方，并指引他們朝著正確的方向前進。他們得到了用以證明完整描述構建塊的精確公式存在的關鍵方程式。

格羅斯猜想的部分證明步驟。

為了驗證正確性，Dasgupta 的兩名學生編寫了一個計算機程序，由此生成了用于給定數字系統的構建塊，并展示了工作原理。除了理論證明之外，這個計算機程序還幫助證明了 Dasgupta 和 Kakde 提出的公式的正確性，這是解決此類抽象問題的一個重要因素。

此外，這個計算機程序在 GitHub 上有一個項目，名為「
Computation-of-Elliptic-Units」，主要計算「生成實二次域希爾伯特類域所需的橢圓形單位和多項式」。下表 1 為一部分計算結果：

項目地址：
https://github.com/liuyj8526/Computation-of-Elliptic-Units

希爾伯特的第 12 個問題要求精確描述阿貝爾多項式的根的構造塊，類似于單位根，Dasgupta 和 Kakde 的研究給出了一系列數字系統的構造塊，盡管是以 p - 進 L 函數的形式，具有明顯的現代性。

但還有最后一個問題：既然希爾伯特明確地寫道，構建塊應該由復數組成，那么這個解偏離希爾伯特最初的指令，這顯示了數學的通用性。使用 p 進數分析為希爾伯特的問題提供了答案，但使用復分析的原始問題仍需未來的數學家探索。可能有很多方法來描述構建塊，未來也許能夠使用復數來描述它們，從而滿足希爾伯特的最初要求。

正如 Gross 所說：「這是一場接力賽，當你精疲力盡時把接力棒傳給下一個人。」