隨著各類語言庫和框架的不斷增加，機器學習變得越來越受歡迎。人們在各個領域更容易找到人工智能和機器學習的應用。然而，依賴庫和框架來使用人工智能可能不會使人們成為該領域的專家。雖然編碼框架的支持增加了可用性，但要在人工智能行業取得成功，我們必須深入理解代碼背后的邏輯。

如果我們放棄了人工智能框架的支持，那么理解數學細節并編寫逐行邏輯將變得至關重要，以揭示機器學習數據中復雜的隱藏模式。具體而言，我們需要學習概率、統計、線性代數、微積分和圖形。本文將深入探討數學知識的需求，并準確地了解數學在機器學習中的應用。

機器學習的數學基礎

掌握數學知識可以助您充分發揮機器學習的潛力，并在各領域構建出色應用。數學在機器學習中扮演著至關重要的角色，例如：

• 基于算法背后的數學原理，可以為給定數據集選擇最優算法。
• 通過了解正則化的數學機制，可以有效防止過擬合或高方差問題。
• 借助圖論知識，能夠深入分析數據特征間的復雜關聯。
• 運用優化理論，可以設計合適的成本函數，提高模型性能。

數學為我們成為機器學習專家提供了強有力的理論支撐。那么，究竟需要掌握多少數學知識呢？讓我們一探究竟，并結合實例來學習如何應用這些數學概念。

機器學習需要什么水平的數學

這個問題的答案因人而異。如果是從事機器學習研究的人，通常需要具備扎實的數學基礎，因為深入研究需要深厚的數學知識。然而，對于只是希望開發人工智能應用程序的人來說，可能并不需要太多的數學知識。

在本文中，我們將詳細討論對于想要開始機器學習之旅或希望提高在機器學習領域實力的人所需的最低數學深度水平。

機器學習需要哪些數學

在機器學習中，這五個數學主題非常常用：

1. 線性代數
2. 可能性
3. 統計數據
4. 微積分
5. 圖表

我們將了解我們需要了解的有關這些主題的內容以及它們將在機器學習中使用的地方。

線性代數

線性代數是機器學習中最常用的數學工具，無論傳統機器學習還是最新深度學習模型，都離不開線性代數的理論支撐。線性代數知識在各種機器學習算法中有著廣泛應用，例如線性回歸、支持向量機、K近鄰、隨機森林等。

• 向量表示：在機器學習中，每個數據樣本可以用特征向量來表示。如果一個樣本有n個特征，那么它對應的就是n維向量。鑒于數據處理無處不在，我們需要時常處理這些n維向量，因此掌握向量的性質(如點積、向量加減等)至關重要。
• 距離計算：機器學習任務中常需計算不同特征向量之間的距離，以衡量它們的相似性。因此，能夠計算兩個n維向量間距離的知識尤為關鍵。這直接應用于K-means聚類和K近鄰算法等。

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• 投影到超平面：在支持向量機(SVM)中，我們需要找到樣本向量到分離超平面的距離。這就需要將樣本向量投影到超平面上，因此掌握向量投影和超平面的概念至關重要。
• 矩陣運算：當特征維數很高且需要學習大量參數時，矩陣運算就顯得尤為重要。以深度學習為例，模型可能有數十億個參數，通過矩陣的形式存儲為權重和偏置，大大簡化了計算。如果沒有矩陣概念，訓練模型和存儲學習內容將是一件極其艱巨的任務。

表示權重向量矩陣

• 矩陣運算：矩陣的基本運算如乘法、加法、減法和轉置在機器學習中無處不在。我們通常將輸入數據表示為矩陣形式，經過與權重矩陣相乘、加上偏置矩陣等運算，得到最終的預測輸出。因此，這些數學計算的知識對于觀察輸入特征到最終預測輸出的轉換至關重要。

Y_pred = (權重).T * X_輸入 + 偏差

• 正交性：將整個數據集看作一個矩陣，行對應樣本，列對應特征。檢查一個特征是否與其他特征線性無關的方法是檢測該矩陣的正交性。如果所有列向量兩兩正交，那么這個矩陣就是正交的。這一概念在主成分分析(PCA)和支持向量機(SVM)等算法中有重要應用。
• 特征值與特征向量：對于高維數據集，我們需要降維技術將其可視化，如PCA算法。它利用了矩陣特征值和特征向量的概念，找到最重要的那些特征，舍棄那些冗余無用的特征。要徹底理解這些方法，我們必須掌握矩陣特征值分解的知識。
• 奇異值分解(SVD)：隨著數據規模的不斷擴大，矩陣也變得越來越大。SVD為我們提供了一種直接從矩陣中提取核心信息的方法，將其分解為三個矩陣的乘積形式。SVD在諸如圖像壓縮、t-SNE等需處理高維數據的任務中有著廣泛應用。掌握這些矩陣分解方法對于理解輸入到輸出的轉換過程至關重要。

概率和概率分布函數

概率是描述隨機事件發生可能性的數學工具，在計算機科學和機器學習等諸多領域有著廣泛應用。理解概率對于掌握機器學習算法的工作原理至關重要。以下是一些需要掌握的關鍵概念：

1. 基本概率： 基本概率描述了某個事件發生的可能性大小。在分類問題中，模型的輸出通常為每個類別的概率值，表示該類別出現的可能程度。常見的基本概率計算方法包括加法法則、乘法法則等。
2. 條件概率和貝葉斯定理： 條件概率是指一個事件在另一個事件已發生的前提下發生的概率。貝葉斯定理描述了如何根據證據更新事先概率的計算過程。貝葉斯方法在機器學習中被廣泛使用，如樸素貝葉斯分類器。

貝葉斯定理術語

• 隨機變量： 隨機變量是用于描述隨機現象結果的變量。在機器學習中，經常需要對模型參數賦予隨機初值。
• 概率分布： 概率分布刻畫了隨機變量可能取值及其概率。對于分類問題，我們通常使用概率分布函數(PDF)來評估預測與真實標簽的契合程度。

機器學習中的分類問題

• 連續分布和離散分布： 有些情況下，事件的可能結果是連續的，需要使用連續概率分布;有些則是離散的，需要使用離散概率分布。

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• 常見概率分布： 高斯分布(正態分布)、均勻分布、伯努利分布等是一些常見的概率分布類型。不同的機器學習算法對數據分布往往有所偏好，如線性回歸適用于高斯分布的數據。
• 最大似然估計(MLE)： 許多機器學習模型(如邏輯回歸)中的優化目標函數是基于最大似然估計的思想推導出來的。

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統計數據

機器學習實際上是一種統計學方法，旨在從數據中估計出某些摘要信息。這種摘要可以是簡單的平均值計算，也可以是更復雜的隱含模式發現。舉例來說，假設我們有10個同事的薪資數據，然后要你預測第11個人的薪資水平，你很可能會選擇計算這10個人的平均工資作為預測值。這種平均數雖然可能與真實值存在偏差，但機器學習的目標正是盡可能縮小這種預測值與實際值之間的差距。因此，機器學習可以被視為統計學的一個分支應用。

在統計學中，常用的數據匯總技術主要包括：

• 均值： 即一組數據的算術平均值。在機器學習中，均值可應用于特征歸一化、計算R2值等場景。可參考相關博文了解均值在回歸模型歸一化和評估指標中的使用。
• 中位數： 指將數據升序或降序排列后的中間值。當需要將數據劃分為等間隔或四分位數范圍時，中位數很有用。例如數據可視化中的箱線圖就利用了中位數。
• 眾數： 即一組數據中出現頻率最高的值。它反映了數據集中占主導地位的樣本信息，對于分類問題，如果發現某類別數據占多數，模型可能會偏向預測該類別。

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微積分

微積分是機器學習領域中最基礎也是最重要的數學分支之一。它在訓練和優化機器學習模型的過程中扮演著關鍵角色，幾乎所有優化算法都離不開微積分理論。例如在廣泛使用的梯度下降算法中，我們就需要依賴于目標函數(成本函數)的導數來確定模型參數調整的方向(增大或減小)。接下來我們列舉一些機器學習中需要用到的微積分相關概念：

• 函數基礎知識：函數是機器學習的核心概念，無論是監督學習還是無監督學習，都需要在輸入數據和目標值之間建立映射函數關系。比如在線性回歸和多項式回歸中，我們試圖擬合能最佳描述數據的線性函數或多項式函數。

1 階： θ1*X  +  θ0 

2 階： θ2*X^2  +  θ1*X  +  θ0

• 傅立葉級數： 傅立葉級數是周期函數在正弦和余弦函數方面的展開。我們可以在數據分析和繪制安德魯斯曲線中找到它的直接用途。
• 連續函數與離散函數：在機器學習中我們經常需要對函數求導數。然而只有連續函數才是可微的，離散函數是不可微的。因此了解函數的連續性質對于選擇合適的激活函數等至關重要。
• 微分基礎：函數的可微性對于機器學習至關重要，因為我們需要根據成本函數的導數來確定調整模型參數的方向。雖然現有工具可以自動計算導數，但深入理解微分原理能幫助設計或調試復雜算法。
• 復合函數與鏈式法則：在神經網絡反向傳播時，需要應用鏈式法則更新網絡中的所有參數，原因是輸出層的成本函數實際上是網絡層之間的復合函數，唯一求導方式就是使用鏈式法則。
• 偏導數：機器學習模型往往需要學習多個參數，為評估單個參數對整體成本函數的影響，我們需要計算成本函數對該參數的偏導數，即在其他參數保持不變的條件下關于該參數的導數。
• 傅里葉級數：傅里葉級數是將周期函數展開成三角函數(正弦和余弦)無限級數的方法。它在數據分析和繪制安德魯斯曲線等領域有著廣泛應用。

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• 矩陣微分：深度學習模型中往往包含數十億個參數，單獨計算每個參數的偏導數將是一個巨大的計算負擔。因此我們采用矩陣微分的方法，以層為單位對網絡進行批量求導，大大提高了計算效率。

圖形

圖形是機器學習中不可或缺的重要工具。在訓練模型的過程中，我們經常需要繪制曲線圖來觀察損失函數(成本函數)隨著訓練迭代的進行是否穩步下降。此外，各種圖形表示也被用于對數據進行可視化分析，從而幫助提取有價值的信息。總的來說，圖形貫穿了機器學習工作流程的方方面面。接下來我們列舉一些機器學習中常見的與圖形相關的主題：

• 線性函數和方程： 當我們學習 ML 時，有關線性方程和函數的知識至關重要，因為大多數算法都會討論斜率/梯度以及 θ1*X + θ0 等方程，其中我們需要知道 θ1 和 θ0 的值。
• 線性函數與方程：線性模型是機器學習中最基礎也是最常用的模型形式之一。了解線性函數和方程(如θ1*X + θ0)對于理解諸如線性回歸等算法的原理至關重要，因為我們需要求解θ1和θ0等參數的值。

• 非線性函數與離散函數圖像：在很多情況下，線性模型無法很好地擬合數據分布，這時我們就需要使用非線性函數(如多項式函數)或分段函數。繪制這些復雜函數的圖像有助于評估模型擬合的精度，即預測值與真實值之間的擬合程度。
• 拋物線方程：均方誤差(MSE)等常用的成本函數具有拋物線型的曲線形狀，這一特性使得求解函數的最小值(全局最優解)變得更加簡單。拋物線函數的另一個有利特征是它只存在一個最小值點，從而避免了導致優化陷入局部最優的風險。

MSE = Σ (Y' - Y)^2, # Y' = Y 的預測值，Y 是 Y 的實際值

• 高階多項式與指數函數：在對復雜數據分布進行建模時，我們常需要使用高階多項式或指數函數。比如邏輯回歸算法中就用到了Sigmoid指數函數。要透徹理解這些模型，對相關函數圖像的把握是必需的。
• 激活函數圖像：在神經網絡等深度學習模型中，激活函數如Tanh、Sigmoid、ReLU等扮演著至關重要的角色。不同的激活函數具有不同的曲線形狀，對應著不同的數學特性，如有界性、中心對稱性等。透過圖像可以直觀地判斷一個激活函數是否滿足特定應用場景的需求。

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寫在最后

本文總結了幾個機器學習初學者必須掌握的數學主題，包括微積分、函數、方程、圖形分析等。微積分在機器學習算法的優化過程中扮演核心角色;函數和方程是對數據進行建模的基礎;圖形知識則是進行數據可視化分析和模型診斷的利器。

掌握這些數學知識有助于初學者進階成為高級機器學習工程師。高級工程師不僅能熟練運用現有算法，更能深入洞見算法內在機制，并根據實際需求對算法加以改造和創新。這種能力使他們在機器學習的理論研究和工程實踐領域都能取得卓越成就。

總的來說，數學是通向機器學習之路的必由之路。初學者應該從一開始就重視對相關數學知識的學習，并努力將這些知識內化為自己的工具和能力，才能在機器學習的廣闊天地中成為出類拔萃的人才。希望這篇文章能給讀者一些有益的啟發。