大多數時間序列可以分解為不同的組件，在本文中，我將討論這些不同的組件是什么，如何獲取它們以及如何使用 Python 進行時間序列分解。

時間序列組成

時間序列是（主要）三個組成部分的組合：趨勢、季節性和殘差/剩余部分。讓我們簡單的解釋這三個組成部分

趨勢：這是該序列的整體運動。它可能會持續增加、也可能持續減少，或者是波動的。

季節性：系列中的任何常規季節性模式。比如，夏季冰淇淋的銷量通常高于冬季。

殘差：這是我們考慮到趨勢和季節性后剩下的部分。它也可以被認為只是統計噪聲，或者是臨時性事件的影響，這個殘差量也有一個單獨的周期分量，但它通常被歸入趨勢分量。

加法模型與乘法模型

這些組件的組合方式取決于時間序列的性質。對于加法模型:

對于乘法模型:

其中 Y 是序列，T 是趨勢，S 是季節性，R 是殘差分量。

當序列變化的大小尺度一致的時候，加法模型是最合適的。而當序列的波動處于相對和比例范圍內時乘法模型是比較合適的。

例如，如果夏季冰淇淋的銷量每年高出 1,000 個，則該模型是加法的。如果每年夏天銷售額持續增長 20%，但絕對銷售額在變化，則該模型是乘法的。稍后我們將討論一個示例，該示例可以使該理論更加具體。

為了計算和可視化的漸變，可以通過對數變換或Box-Cox變換將乘法模型轉換為加法模型:

分解是如何工作的

有多種算法和方法可以將時間序列分解為三個分量。以下的經典方法，經常會使用并且非常直觀。

• 使用移動/滾動平均值計算趨勢分量 T。
• 對序列進行去趨勢處理，Y-T 用于加法模型，Y/T 用于乘法模型。
• 通過取每個季節的去趨勢序列的平均值來計算季節分量 S。
• 殘差分量 R 的計算公式為：對于加法模型R = Y-T-R，對于乘法模型R = Y/(TR)。

還有其他幾種可用于分解的方法，例如 STL、X11 和 SEATS。這些是先進的方法，是對經典方法的基本方法的補充，并改進了它的缺點。如果有想了解這些最新方法的可以留言，我們單開一篇文章介紹。

Python中進行時間序列分解

這里讓我們使用1948年至1961年的美國航空客運量數據集:

#https://www.kaggle.com/datasets/ashfakyeafi/air-passenger-data-for-time-series-analysis
 
 import plotly.express as px
 import pandas as pd
 
 # Read in the data
 data = pd.read_csv('AirPassengers.csv', index_col=0)
 data.index = pd.to_datetime(data.index)
 
 # Plot the data
 fig = px.line(data, x=data.index, y='#Passengers',
  
 
 fig.update_layout(template="simple_white", fnotallow=dict(size=18),
  
 
 fig.show()

從圖中我們觀察到趨勢是增加的，每年也有季節性。波動的大小隨著時間的推移而增加，因此我們可以說這是一個乘法模型。

statmodels中包含了seasonal_decomposition函數可以幫我們來分解時間序列，并在我們要在調用函數時指定這是一個“乘法”模型:

from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose
 import matplotlib.pyplot as plt
 
 # Plot the decomposition for multiplicative series
 data.rename(columns={'#Passengers': 'Multiplicative Decomposition'}, inplace=True)
 decomposition_plot_multi = seasonal_decompose(data['Multiplicative Decomposition'],
  
 decomposition_plot_multi.plot()
 plt.show()

從上圖中可以看到，該函數確實成功地捕獲了這三個組成部分。

通過應用Scipy的函數boxcox ，可以使用Box-Cox變換穩定方差，這樣可以將序列轉換為一個加法模型:

# Import packages
 from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose
 import matplotlib.pyplot as plt
 from scipy.stats import boxcox
 
 # Apply boxcox to acquire additive model
 data['Additive Decomposition'], lam = boxcox(data['#Passengers'])
 
 # Plot the decomposition for additive series
 decomposition_plot_add = seasonal_decompose(data['Additive Decomposition'],
  
 decomposition_plot_add.plot()
 plt.show()

這個函數也很好地捕獲了這三個組件。但是我們看到殘差在早期和后期具有更高的波動性。所以在為這個時間序列構建預測模型時，需要考慮到這一點。

總結

在這篇文章中，我們展示了如何將時間序列分解為三個基本組成部分:趨勢、季節性和殘差。這三個組成部分的組合產生了實際的時間序列，它們的組合可以是加性的也可以是乘性的。有幾種更新技術可以執行分解，如STL, SEAL和X11，但是經典的方法簡單并且直觀。最后通過分解時間序列有助于建立對數據的理解，從而更容易做出未來的預測。