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什么是并查集

并查集這種數據結構，可能出現的頻率不是那么高，但是還會經常性的見到，其理解學習起來非常容易，通過本文，一定能夠輕輕松松搞定并查集!

對于一種數據結構，肯定是有自己的應用場景和特性，那么并查集是處理什么問題的呢?

并查集是一種樹型的數據結構，用于處理一些不相交集合(disjoint sets)的合并及查詢問題,常常在使用中以森林來表示。在一些有N個元素的集合應用問題中，我們通常是在開始時讓每個元素構成一個單元素的集合，然后按一定順序將屬于同一組的元素所在的集合合并，其間要反復查找一個元素在哪個集合中。其特點是看似并不復雜，但數據量極大，若用正常的數據結構來描述的話，往往在空間上過大，計算機無法承受;即使在空間上勉強通過，運行的時間復雜度也極高，根本就不可能在比賽規定的運行時間(1～3秒)內計算出試題需要的結果，只能用并查集來描述。

你可能還有點迷糊并查集能怎么玩，看完這篇然后回頭看這兩個問題(分別杭電1232和杭電1272)。

問題1：

某省調查城鎮交通狀況，得到現有城鎮道路統計表，表中列出了每條道路直接連通的城鎮。省政府“暢通工程”的目標是使全省任何兩個城鎮間都可以實現交通(但不一定有直接的道路相連，只要互相間接通過道路可達即可)。問最少還需要建設多少條道路?

這個問題很容易，給定的關系看看需要合并多少次就知道最少的建設道路數量。

問題二：

小希希望任意兩個房間有且僅有一條路徑可以相通(除非走了回頭路)。小希現在把她的設計圖給你，讓你幫忙判斷她的設計圖是否符合她的設計思路。比如下面的例子，前兩個是符合條件的，但是最后一個卻有兩種方法從5到達8。

這個問題也很容易了，根據關系集合進行合如果兩個元素已經屬于一個集合，那就說明不滿足要求啦。

并查集解析

通過上面介紹，相信你已經清楚并查集就是解決集合中一些元素的合并和查詢問題，現在就帶你解析這個算法。

初始化

開始時候森林中每個元素沒有任何操作，它們之間是相互獨立的。我們通常會使用數組來表示這個森林(數組下標對應第幾個元素)，在初始化的時候數組中的各個值為-1，表示各自自己是一個集合(各自為王)，你可能會問為啥是-1而不是一個其他的數，那是因為用負數可以代表這個元素是某個集合的根，然后它的權值表示集合中元素的個數。

并 union(int a,int b)

這里合并，并沒有你想象的直接合并那么簡單，這里合并是合并a所在的集合和b所在的集合，但在操作層面a,b可能并不是根節點，所以也要先判斷一下。

為了便于理解，這里羅列一下最初操作可能的情況，初始時候各個元素都是獨立的集合，那么直接a指向b(或者b指向a)即arr[a]=b,同時為了表示這個集合有多少個，原本-1的b再次-1.即arr[b]=-2.表示以b為父根的集合節點有|-2|個。例如進行union(1,4)，union(5,7)操作之后如圖所示：

正常情況的union(int a,int b)，假設我們就是a合并到b上，把b當成父集合來看。a、b都可能是葉子節點，也可能是根節點。

此時你可以先分別找到a,b的父節點fa,fb(這個根可能是它自己),然后合并fa和fb兩個節點，例如上面如果union(1,5)那么其實就是等價union(4,7)。

為什么不直接操作a,b而是要找到他們的父親進行操作?

原因1是因為a,b可能是葉子節點，其值是正的表示已經有父親了，如果直接操作會使其與原來的集合分離開。另外集合中的數量(負數)也不能有效疊加。

原因2是因為合并的時候如果合并如果a,b是非根節點操作，可能會造成這個樹的深度太大，不利于集合a中的查詢效率。

查 search(int a)

查詢，其實就是查詢這個節點的根節點是啥(也稱代表元)，這個過程也有點類似遞歸的過程，葉子節點值如果為正，那么就繼續查找這個值得位置的結果，一直到值為負數的時候說明找到根節點，可以直接返回。

不過在查詢的過程中可以順便路徑優化，這樣在頻繁查詢能夠大大降低時間復雜度。

優化

你以為上面的就是并查集的全部?不不不，并查集還有不少需要掌握嘞，估計細心的人可能也會發現一些問題。

你可能會有疑問：

如何查看a，b是否在同一個集合?

查看是否在一個集合，只需要查看節點根祖先的結果是否相同即可。因為只有根的數值是負的，而其他都是正數表示指向的元素。所以只需要一直尋找直到不為正數進行比較即可!

a,b合并，究竟是a的祖先合并在b的祖先上，還是b的祖先合并在a上?

這里會遇到兩種情況，這個選擇也是非常重要的。你要弄明白一點：樹的高度+1的化那么整個元素查詢的效率都會降低!

所以我們通常是：小樹指向大樹(或者低樹指向高樹)，這個使得查詢效率能夠增加!

當然，在高度和數量的選擇上，還需要你自己選擇和考慮。

查找途中能不能路徑壓縮

每次查詢，自下向上。當我們調用遞歸的時候，可以順便壓縮路徑(將當前數組的值等于遞歸返回的根節點的值)，我們查找一個元素只需要直接找到它的祖先，所以當它距離祖先近那么下次查詢就很快。并且壓縮路徑的代價并不大!

試想一下，如果一個分支的深度為1000，不壓縮路徑那么這個分支每個節點平均查找次數為500，壓縮一次下次再查找就是1次。

學會路徑壓縮，你基本可以秒殺大部分并查集的題。

代碼實現

并查集實現起來較為簡單，直接貼代碼!代碼很久前寫的，如果有紕漏還請指出。

import java.util.Scanner; 
public class DisjointSet { 
    static int tree[]=new int[100000];//假設有500個值 
    public DisjointSet()    {set(this.tree);} 
    public DisjointSet(int tree[])  
    { 
        this.tree=tree; 
        set(this.tree); 
    } 
  //初始化所有都是-1 有兩個好處，這樣他們指向-1說明是自己， 
  //第二，-1代表當前森林有-（-1）個 
    public void set(int a[]) 
    { 
        int l=a.length; 
        for(int i=0;i<l;i++) 
        { 
            a[i]=-1; 
        } 
    } 
    public int search(int a)//返回頭節點的數值 
    { 
        if(tree[a]>0)//說明是子節點 
        { 
            return tree[a]=search(tree[a]);//路徑壓縮 
        } 
        else 
            return a; 
    } 
    public int value(int a)//返回a所在樹的大小（個數） 
    { 
        if(tree[a]>0) 
        { 
            return value(tree[a]); 
        } 
        else 
            return -tree[a]; 
    } 
    public void union(int a,int b)//表示 a，b所在的樹合并 
    { 
        int a1=search(a);//a根 
        int b1=search(b);//b根 
        if(a1==b1) {System.out.println(a+"和"+b+"已經在一棵樹上");} 
        else { 
        if(tree[a1]<tree[b1])//這個是負數，為了簡單減少計算，不在調用value函數 
        { 
            tree[a1]+=tree[b1];//個數相加  注意是負數相加 
            tree[b1]=a1;       //b樹成為a的子樹，直接指向a； 
        } 
        else 
        { 
            tree[b1]+=tree[a1];//個數相加  注意是負數相加 
            tree[a1]=b1;       //b樹成為a的子樹，直接指向a； 
        } 
        } 
    } 
    public static void main(String[] args) 
    {        
        DisjointSet d=new DisjointSet(); 
        d.union(1,2); 
        d.union(3,4); 
        d.union(5,6); 
        d.union(1,6); 
 
        d.union(22,24); 
        d.union(3,26); 
        d.union(36,24); 
        System.out.println(d.search(6));    //頭 
        System.out.println(d.value(6));     //大小 
        System.out.println(d.search(22));   //頭 
        System.out.println(d.value(22));     //大小 
    } 
} 

結語

并查集屬于簡單但是很高效率的數據結構。在集合中經常會遇到。如果不采用并查集而傳統暴力效率太低，而不被采納。