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上周小結的時候就提到了，在「算法匯總」里算法性能分析這塊還沒補全，后序會補上，所以這就來了，要分析遞歸的性能咱就分析個清清楚楚!

之前在通過一道面試題目，講一講遞歸算法的時間復雜度!中詳細講解了遞歸算法的時間復雜度，但沒有講空間復雜度。

本篇講通過求斐波那契數列和二分法再來深入分析一波遞歸算法的時間和空間復雜度，細心看完，會刷新對遞歸的認知!

遞歸求斐波那契數列的性能分析

先來看一下求斐波那契數的遞歸寫法。

int fibonacci(int i) { 
       if(i <= 0) return 0; 
       if(i == 1) return 1; 
       return fibonacci(i-1) + fibonacci(i-2); 
} 

對于遞歸算法來說，代碼一般都比較簡短，從算法邏輯上看，所用的存儲空間也非常少，但運行時需要內存可不見得會少。

時間復雜度分析

來看看這個求斐波那契的遞歸算法的時間復雜度是多少呢?

在講解遞歸時間復雜度的時候，我們提到了遞歸算法的時間復雜度本質上是要看: 遞歸的次數 * 每次遞歸的時間復雜度。

可以看出上面的代碼每次遞歸都是O(1)的操作。再來看遞歸了多少次，這里將i為5作為輸入的遞歸過程 抽象成一顆遞歸樹，如圖：

從圖中，可以看出f(5)是由f(4)和f(3)相加而來，那么f(4)是由f(3)和f(2)相加而來 以此類推。

在這顆二叉樹中每一個節點都是一次遞歸，那么這棵樹有多少個節點呢?

我們之前也有說到，一棵深度(按根節點深度為1)為k的二叉樹最多可以有 2^k - 1 個節點。

所以該遞歸算法的時間復雜度為 O(2^n) ，這個復雜度是非常大的，隨著n的增大，耗時是指數上升的。

來做一個實驗，大家可以有一個直觀的感受。

以下為C++代碼，來測一下，讓我們輸入n的時候，這段遞歸求斐波那契代碼的耗時。

#include <iostream> 
#include <chrono> 
#include <thread> 
using namespace std; 
using namespace chrono; 
int fibonacci(int i) { 
       if(i <= 0) return 0; 
       if(i == 1) return 1; 
       return fibonacci(i - 1) + fibonacci(i - 2); 
} 
void time_consumption() { 
    int n; 
    while (cin >> n) { 
        milliseconds start_time = duration_cast<milliseconds >( 
            system_clock::now().time_since_epoch() 
        ); 
 
        fibonacci(n); 
 
        milliseconds end_time = duration_cast<milliseconds >( 
            system_clock::now().time_since_epoch() 
        ); 
        cout << milliseconds(end_time).count() - milliseconds(start_time).count() 
            <<" ms"<< endl; 
    } 
} 
int main() 
{ 
    time_consumption(); 
    return 0; 
} 

根據以上代碼，給出幾組實驗數據：

測試電腦以2015版MacPro為例，CPU配置：2.7 GHz Dual-Core Intel Core i5

測試數據如下：

• n = 40，耗時：837 ms
• n = 50，耗時：110306 ms

可以看出，O(2^n)這種指數級別的復雜度是非常大的。

所以這種求斐波那契數的算法看似簡潔，其實時間復雜度非常高，一般不推薦這樣來實現斐波那契。

其實罪魁禍首就是這里的兩次遞歸，導致了時間復雜度以指數上升。

return fibonacci(i-1) + fibonacci(i-2); 

可不可以優化一下這個遞歸算法呢。主要是減少遞歸的調用次數。

來看一下如下代碼：

// 版本二 
int fibonacci(int first, int second, int n) { 
    if (n <= 0) { 
        return 0; 
    } 
    if (n < 3) { 
        return 1; 
    } 
    else if (n == 3) { 
        return first + second; 
    } 
    else { 
        return fibonacci(second, first + second, n - 1); 
    } 
} 

這里相當于用first和second來記錄當前相加的兩個數值，此時就不用兩次遞歸了。

因為每次遞歸的時候n減1，即只是遞歸了n次，所以時間復雜度是 O(n)。

同理遞歸的深度依然是n，每次遞歸所需的空間也是常數，所以空間復雜度依然是O(n)。

代碼(版本二)的復雜度如下：

• 時間復雜度：O(n)
• 空間復雜度：O(n)

此時再來測一下耗時情況驗證一下：

#include <iostream> 
#include <chrono> 
#include <thread> 
using namespace std; 
using namespace chrono; 
int fibonacci_3(int first, int second, int n) { 
    if (n <= 0) { 
        return 0; 
    } 
    if (n < 3) { 
        return 1; 
    } 
    else if (n == 3) { 
        return first + second; 
    } 
    else { 
        return fibonacci_3(second, first + second, n - 1); 
    } 
} 
 
void time_consumption() { 
    int n; 
    while (cin >> n) { 
        milliseconds start_time = duration_cast<milliseconds >( 
            system_clock::now().time_since_epoch() 
        ); 
 
        fibonacci_3(0, 1, n); 
 
        milliseconds end_time = duration_cast<milliseconds >( 
            system_clock::now().time_since_epoch() 
        ); 
        cout << milliseconds(end_time).count() - milliseconds(start_time).count() 
            <<" ms"<< endl; 
    } 
} 
int main() 
{ 
    time_consumption(); 
    return 0; 
} 

測試數據如下：

• n = 40，耗時：0 ms
• n = 50，耗時：0 ms

大家此時應該可以看出差距了!!

空間復雜度分析

說完了這段遞歸代碼的時間復雜度，再看看如何求其空間復雜度呢，這里給大家提供一個公式：遞歸算法的空間復雜度 = 每次遞歸的空間復雜度 * 遞歸深度

為什么要求遞歸的深度呢?

因為每次遞歸所需的空間都被壓到調用棧里(這是內存管理里面的數據結構，和算法里的棧原理是一樣的)，一次遞歸結束，這個棧就是就是把本次遞歸的數據彈出去。所以這個棧最大的長度就是遞歸的深度。

此時可以分析這段遞歸的空間復雜度，從代碼中可以看出每次遞歸所需要的空間大小都是一樣的，所以每次遞歸中需要的空間是一個常量，并不會隨著n的變化而變化，每次遞歸的空間復雜度就是O(1)。

在看遞歸的深度是多少呢?如圖所示：

遞歸第n個斐波那契數的話，遞歸調用棧的深度就是n。

那么每次遞歸的空間復雜度是O(1)， 調用棧深度為n，所以這段遞歸代碼的空間復雜度就是O(n)。

int fibonacci(int i) { 
       if(i <= 0) return 0; 
       if(i == 1) return 1; 
       return fibonacci(i-1) + fibonacci(i-2); 
} 

最后對各種求斐波那契數列方法的性能做一下分析，如題：

可以看出，求斐波那契數的時候，使用遞歸算法并不一定是在性能上是最優的，但遞歸確實簡化的代碼層面的復雜度。

二分法(遞歸實現)的性能分析

帶大家再分析一段二分查找的遞歸實現。

int binary_search( int arr[], int l, int r, int x) { 
    if (r >= l) { 
        int mid = l + (r - l) / 2; 
        if (arr[mid] == x) 
            return mid; 
        if (arr[mid] > x) 
            return binary_search(arr, l, mid - 1, x); 
        return binary_search(arr, mid + 1, r, x); 
    } 
    return -1; 
} 

都知道二分查找的時間復雜度是O(logn)，那么遞歸二分查找的空間復雜度是多少呢?

我們依然看 每次遞歸的空間復雜度和遞歸的深度

首先我們先明確這里的空間復雜度里面的n是什么?二分查找的時候n就是指查找數組的長度，也就是代碼中的arr數組。

每次遞歸的空間復雜度可以看出主要就是參數里傳入的這個arr數組，即：O(n)。

再來看遞歸的深度，二分查找的遞歸深度是logn ，遞歸深度就是調用棧的長度，那么這段代碼的空間復雜度為 n * logn = O(nlogn)。

有同學問了：為什么網上很多人說遞歸二分查找的空間復雜度是O(logn)，而不是O(nlogn)呢?

其實還是因為這個數組，我們可以把這個數組放到外面而不是放在遞歸函數參數里里，代碼如下：

int arr[] = {2, 3, 4, 5, 8, 10, 15, 17, 20}; 
int binary_search(int l, int r, int n) { 
    if (r >= l) { 
        int mid = l + (r - l) / 2; 
        if (arr[mid] == n) 
            return mid; 
        if (arr[mid] > n) 
            return binary_search(l, mid - 1, n); 
        return binary_search(mid + 1, r, n); 
    } 
    return -1; 
} 

看這份代碼將arr數組定義為全局變量，而不放在遞歸循環里，那么每層遞歸的空間復雜度是O(1)，遞歸深度為O(logn)，整體空間復雜度為 1 * logn = O(logn)。

總結

本章我們詳細分析了遞歸實現的求斐波那契和二分法的空間復雜度，同時也對時間復雜度做了分析。

特別是兩種遞歸實現的求斐波那契數列，其時間復雜度截然不容，我們還做了實驗，驗證了時間復雜度為O(2^n)是非常耗時的。

通過本篇大家應該對遞歸算法的時間復雜度和空間復雜度有更加深刻的理解了。