隨機爬山是一種優(yōu)化算法。它利用隨機性作為搜索過程的一部分。這使得該算法適用于非線性目標函數(shù)，而其他局部搜索算法不能很好地運行。它也是一種局部搜索算法，這意味著它修改了單個解決方案并搜索搜索空間的相對局部區(qū)域，直到找到局部最優(yōu)值為止。這意味著它適用于單峰優(yōu)化問題或在應用全局優(yōu)化算法后使用。

在本教程中，您將發(fā)現(xiàn)用于函數(shù)優(yōu)化的爬山優(yōu)化算法完成本教程后，您將知道：

•  爬山是用于功能優(yōu)化的隨機局部搜索算法。
•  如何在Python中從頭開始實現(xiàn)爬山算法。
•  如何應用爬山算法并檢查算法結(jié)果。

教程概述

本教程分為三個部分：他們是：

•  爬山算法
•  爬山算法的實現(xiàn)
•  應用爬山算法的示例

爬山算法

隨機爬山算法是一種隨機局部搜索優(yōu)化算法。它以起始點作為輸入和步長，步長是搜索空間內(nèi)的距離。該算法將初始點作為當前最佳候選解決方案，并在提供的點的步長距離內(nèi)生成一個新點。計算生成的點，如果它等于或好于當前點，則將其視為當前點。新點的生成使用隨機性，通常稱為隨機爬山。這意味著該算法可以跳過響應表面的顛簸，嘈雜，不連續(xù)或欺騙性區(qū)域，作為搜索的一部分。重要的是接受具有相等評估的不同點，因為它允許算法繼續(xù)探索搜索空間，例如在響應表面的平坦區(qū)域上。限制這些所謂的“橫向”移動以避免無限循環(huán)也可能是有幫助的。該過程一直持續(xù)到滿足停止條件，例如最大數(shù)量的功能評估或給定數(shù)量的功能評估內(nèi)沒有改善為止。該算法之所以得名，是因為它會（隨機地）爬到響應面的山坡上，達到局部最優(yōu)值。這并不意味著它只能用于最大化目標函數(shù)。這只是一個名字。實際上，通常，我們最小化功能而不是最大化它們。作為局部搜索算法，它可能會陷入局部最優(yōu)狀態(tài)。然而，多次重啟可以允許算法定位全局最優(yōu)。步長必須足夠大，以允許在搜索空間中找到更好的附近點，但步幅不能太大，以使搜索跳出包含局部最優(yōu)值的區(qū)域。

爬山算法的實現(xiàn)

在撰寫本文時，SciPy庫未提供隨機爬山的實現(xiàn)。但是，我們可以自己實現(xiàn)它。首先，我們必須定義目標函數(shù)和每個輸入變量到目標函數(shù)的界限。目標函數(shù)只是一個Python函數(shù)，我們將其命名為Objective（）。邊界將是一個2D數(shù)組，每個輸入變量都具有一個維度，該變量定義了變量的最小值和最大值。例如，一維目標函數(shù)和界限將定義如下： 

# objective function  
def objective(x):  
 return 0   
# define range for input  
bounds = asarray([[-5.0, 5.0]]) 

接下來，我們可以生成初始解作為問題范圍內(nèi)的隨機點，然后使用目標函數(shù)對其進行評估。 

# generate an initial point  
solution = bounds[:, 0] + rand(len(bounds)) * (bounds[:, 1] - bounds[:, 0])  
# evaluate the initial point  
solution_eval = objective(solution) 

現(xiàn)在我們可以遍歷定義為“ n_iterations”的算法的預定義迭代次數(shù)，例如100或1,000。 

# run the hill climb  
for i in range(n_iterations): 

算法迭代的第一步是采取步驟。這需要預定義的“ step_size”參數(shù)，該參數(shù)相對于搜索空間的邊界。我們將采用高斯分布的隨機步驟，其中均值是我們的當前點，標準偏差由“ step_size”定義。這意味著大約99％的步驟將在當前點的（3 * step_size）之內(nèi)。 

# take a step  
candidate = solution + randn(len(bounds)) * step_size 

我們不必采取這種方式。您可能希望使用0到步長之間的均勻分布。例如： 

# take a step  
candidate = solution + rand(len(bounds)) * step_size 

接下來，我們需要評估具有目標函數(shù)的新候選解決方案。 

# evaluate candidate point  
candidte_eval = objective(candidate) 

然后，我們需要檢查此新點的評估結(jié)果是否等于或優(yōu)于當前最佳點，如果是，則用此新點替換當前最佳點。 

# check if we should keep the new point  
if candidte_eval <= solution_eval:  
 # store the new point  
 solution, solution_eval = candidate, candidte_eval  
 # report progress  
 print('>%d f(%s) = %.5f' % (i, solution, solution_eval)) 

就是這樣。我們可以將此爬山算法實現(xiàn)為可重用函數(shù)，該函數(shù)將目標函數(shù)的名稱，每個輸入變量的范圍，總迭代次數(shù)和步驟作為參數(shù)，并返回找到的最佳解決方案及其評估。 

# hill climbing local search algorithm  
def hillclimbing(objective, bounds, n_iterations, step_size):  
 # generate an initial point  
 solution = bounds[:, 0] + rand(len(bounds)) * (bounds[:, 1] - bounds[:, 0])  
 # evaluate the initial point  
 solution_eval = objective(solution)  
 # run the hill climb  
 for i in range(n_iterations):  
  # take a step  
  candidate = solution + randn(len(bounds)) * step_size  
  # evaluate candidate point  
  candidte_eval = objective(candidate)  
  # check if we should keep the new point 
  if candidte_eval <= solution_eval:  
   # store the new point  
   solution, solution_eval = candidate, candidte_eval  
   # report progress  
   print('>%d f(%s) = %.5f' % (i, solution, solution_eval))  
 return [solution, solution_eval] 

現(xiàn)在，我們知道了如何在Python中實現(xiàn)爬山算法，讓我們看看如何使用它來優(yōu)化目標函數(shù)。

應用爬山算法的示例

在本節(jié)中，我們將把爬山優(yōu)化算法應用于目標函數(shù)。首先，讓我們定義目標函數(shù)。我們將使用一個簡單的一維x ^ 2目標函數(shù)，其邊界為[-5，5]。下面的示例定義了函數(shù)，然后為輸入值的網(wǎng)格創(chuàng)建了函數(shù)響應面的折線圖，并用紅線標記了f（0.0）= 0.0處的最佳值。 

# convex unimodal optimization function  
from numpy import arange  
from matplotlib import pyplot   
# objective function  
def objective(x):  
 return x[0]**2.0   
# define range for input  
r_min, r_max = -5.0, 5.0  
# sample input range uniformly at 0.1 increments  
inputs = arange(r_min, r_max, 0.1)  
# compute targets  
results = [objective([x]) for x in inputs]  
# create a line plot of input vs result  
pyplot.plot(inputs, results)  
# define optimal input value  
x_optima = 0.0  
# draw a vertical line at the optimal input  
pyplot.axvline(x=x_optima, ls='--', color='red')  
# show the plot  
pyplot.show() 

運行示例將創(chuàng)建目標函數(shù)的折線圖，并清晰地標記函數(shù)的最優(yōu)值。

接下來，我們可以將爬山算法應用于目標函數(shù)。首先，我們將播種偽隨機數(shù)生成器。通常這不是必需的，但是在這種情況下，我想確保每次運行算法時都得到相同的結(jié)果（相同的隨機數(shù)序列），以便以后可以繪制結(jié)果。 

# seed the pseudorandom number generator  
seed(5) 

接下來，我們可以定義搜索的配置。在這種情況下，我們將搜索算法的1,000次迭代，并使用0.1的步長。假設我們使用的是高斯函數(shù)來生成步長，這意味著大約99％的所有步長將位于給定點（0.1 * 3）的距離內(nèi)，例如 三個標準差。 

n_iterations = 1000  
# define the maximum step size  
step_size = 0.1 

接下來，我們可以執(zhí)行搜索并報告結(jié)果。 

# perform the hill climbing search  
best, score = hillclimbing(objective, bounds, n_iterations, step_size)  
print('Done!')  
print('f(%s) = %f' % (best, score)) 

結(jié)合在一起，下面列出了完整的示例。 

# hill climbing search of a one-dimensional objective function  
from numpy import asarray  
from numpy.random import randn  
from numpy.random import rand  
from numpy.random import seed   
# objective function  
def objective(x):  
 return x[0]**2.0   
# hill climbing local search algorithm  
def hillclimbing(objective, bounds, n_iterations, step_size):  
 # generate an initial point  
 solution = bounds[:, 0] + rand(len(bounds)) * (bounds[:, 1] - bounds[:, 0])  
 # evaluate the initial point  
 solution_eval = objective(solution)  
 # run the hill climb  
 for i in range(n_iterations): 
  # take a step  
  candidate = solution + randn(len(bounds)) * step_size  
  # evaluate candidate point  
  candidte_eval = objective(candidate)  
  # check if we should keep the new point  
  if candidte_eval <= solution_eval:  
   # store the new point  
   solution, solution_eval = candidate, candidte_eval  
   # report progress  
   print('>%d f(%s) = %.5f' % (i, solution, solution_eval))  
 return [solution, solution_eval]  
# seed the pseudorandom number generator  
seed(5)  
# define range for input  
bounds = asarray([[-5.0, 5.0]])  
# define the total iterations 
n_iterations = 1000  
# define the maximum step size  
step_size = 0.1  
# perform the hill climbing search  
best, score = hillclimbing(objective, bounds, n_iterations, step_size)  
print('Done!')  
print('f(%s) = %f' % (best, score)) 

運行該示例將報告搜索進度，包括每次檢測到改進時的迭代次數(shù)，該函數(shù)的輸入以及來自目標函數(shù)的響應。搜索結(jié)束時，找到最佳解決方案，并報告其評估結(jié)果。在這種情況下，我們可以看到在算法的1,000次迭代中有36處改進，并且該解決方案非常接近于0.0的最佳輸入，其計算結(jié)果為f（0.0）= 0.0。 

>1 f([-2.74290923]) = 7.52355  
>3 f([-2.65873147]) = 7.06885  
>4 f([-2.52197291]) = 6.36035  
>5 f([-2.46450214]) = 6.07377  
>7 f([-2.44740961]) = 5.98981  
>9 f([-2.28364676]) = 5.21504  
>12 f([-2.19245939]) = 4.80688  
>14 f([-2.01001538]) = 4.04016  
>15 f([-1.86425287]) = 3.47544  
>22 f([-1.79913002]) = 3.23687  
>24 f([-1.57525573]) = 2.48143  
>25 f([-1.55047719]) = 2.40398  
>26 f([-1.51783757]) = 2.30383  
>27 f([-1.49118756]) = 2.22364  
>28 f([-1.45344116]) = 2.11249  
>30 f([-1.33055275]) = 1.77037  
>32 f([-1.17805016]) = 1.38780  
>33 f([-1.15189314]) = 1.32686  
>36 f([-1.03852644]) = 1.07854  
>37 f([-0.99135322]) = 0.98278  
>38 f([-0.79448984]) = 0.63121  
>39 f([-0.69837955]) = 0.48773  
>42 f([-0.69317313]) = 0.48049  
>46 f([-0.61801423]) = 0.38194  
>48 f([-0.48799625]) = 0.23814  
>50 f([-0.22149135]) = 0.04906  
>54 f([-0.20017144]) = 0.04007  
>57 f([-0.15994446]) = 0.02558  
>60 f([-0.15492485]) = 0.02400  
>61 f([-0.03572481]) = 0.00128  
>64 f([-0.03051261]) = 0.00093  
>66 f([-0.0074283]) = 0.00006  
>78 f([-0.00202357]) = 0.00000  
>119 f([0.00128373]) = 0.00000  
>120 f([-0.00040911]) = 0.00000  
>314 f([-0.00017051]) = 0.00000  
Done!  
f([-0.00017051]) = 0.000000 

以線圖的形式查看搜索的進度可能很有趣，該線圖顯示了每次改進后最佳解決方案的評估變化。每當有改進時，我們就可以更新hillclimbing（）來跟蹤目標函數(shù)的評估，并返回此分數(shù)列表。 

# hill climbing local search algorithm  
def hillclimbing(objective, bounds, n_iterations, step_size):  
 # generate an initial point  
 solution = bounds[:, 0] + rand(len(bounds)) * (bounds[:, 1] - bounds[:, 0])  
 # evaluate the initial point  
 solution_eval = objective(solution)  
 # run the hill climb 
 scores = list()  
 scores.append(solution_eval)  
 for i in range(n_iterations):  
  # take a step  
  candidate = solution + randn(len(bounds)) * step_size  
  # evaluate candidate point  
  candidte_eval = objective(candidate)  
  # check if we should keep the new point  
  if candidte_eval <= solution_eval:  
   # store the new point  
   solution, solution_eval = candidate, candidte_eval  
   # keep track of scores  
   scores.append(solution_eval)  
   # report progress  
   print('>%d f(%s) = %.5f' % (i, solution, solution_eval))  
 return [solution, solution_eval, scores] 

然后，我們可以創(chuàng)建這些分數(shù)的折線圖，以查看搜索過程中發(fā)現(xiàn)的每個改進的目標函數(shù)的相對變化。 

# line plot of best scores  
pyplot.plot(scores, '.-')  
pyplot.xlabel('Improvement Number')  
pyplot.ylabel('Evaluation f(x)')  
pyplot.show() 

結(jié)合在一起，下面列出了執(zhí)行搜索并繪制搜索過程中改進解決方案的目標函數(shù)得分的完整示例。 

# hill climbing search of a one-dimensional objective function  
from numpy import asarray  
from numpy.random import randn  
from numpy.random import rand  
from numpy.random import seed  
from matplotlib import pyplot   
# objective function  
def objective(x):  
 return x[0]**2.0  
# hill climbing local search algorithm  
def hillclimbing(objective, bounds, n_iterations, step_size):  
 # generate an initial point  
 solution = bounds[:, 0] + rand(len(bounds)) * (bounds[:, 1] - bounds[:, 0])  
 # evaluate the initial point  
 solution_eval = objective(solution)  
 # run the hill climb  
 scores = list()  
 scores.append(solution_eval)  
 for i in range(n_iterations):  
  # take a step  
  candidate = solution + randn(len(bounds)) * step_size  
  # evaluate candidate point  
  candidte_eval = objective(candidate)  
  # check if we should keep the new point  
  if candidte_eval <= solution_eval:  
   # store the new point  
   solution, solution_eval = candidate, candidte_eval  
   # keep track of scores  
   scores.append(solution_eval)  
   # report progress  
   print('>%d f(%s) = %.5f' % (i, solution, solution_eval))  
 return [solution, solution_eval, scores]  
# seed the pseudorandom number generator  
seed(5)  
# define range for input  
bounds = asarray([[-5.0, 5.0]])  
# define the total iterations  
n_iterations = 1000  
# define the maximum step size  
step_size = 0.1  
# perform the hill climbing search  
best, score, scores = hillclimbing(objective, bounds, n_iterations, step_size)  
print('Done!')  
print('f(%s) = %f' % (best, score))  
# line plot of best scores  
pyplot.plot(scores, '.-')  
pyplot.xlabel('Improvement Number')  
pyplot.ylabel('Evaluation f(x)')  
pyplot.show() 

運行示例將執(zhí)行搜索，并像以前一樣報告結(jié)果。創(chuàng)建一個線形圖，顯示在爬山搜索期間每個改進的目標函數(shù)評估。在搜索過程中，我們可以看到目標函數(shù)評估發(fā)生了約36個變化，隨著算法收斂到最優(yōu)值，初始變化較大，而在搜索結(jié)束時變化很小，難以察覺。

鑒于目標函數(shù)是一維的，因此可以像上面那樣直接繪制響應面。通過將在搜索過程中找到的最佳候選解決方案繪制為響應面中的點，來回顧搜索的進度可能會很有趣。我們期望沿著響應面到達最優(yōu)點的一系列點。這可以通過首先更新hillclimbing（）函數(shù)以跟蹤每個最佳候選解決方案在搜索過程中的位置來實現(xiàn)，然后返回最佳解決方案列表來實現(xiàn)。 

# hill climbing local search algorithm  
def hillclimbing(objective, bounds, n_iterations, step_size):  
 # generate an initial point  
 solution = bounds[:, 0] + rand(len(bounds)) * (bounds[:, 1] - bounds[:, 0])  
 # evaluate the initial point  
 solution_eval = objective(solution) 
 # run the hill climb  
 solutions = list()  
 solutions.append(solution)  
 for i in range(n_iterations):  
  # take a step  
  candidate = solution + randn(len(bounds)) * step_size  
  # evaluate candidate point 
   candidte_eval = objective(candidate)  
  # check if we should keep the new point  
  if candidte_eval <= solution_eval:  
   # store the new point  
   solution, solution_eval = candidate, candidte_eval  
   # keep track of solutions  
   solutions.append(solution) 
   # report progress  
   print('>%d f(%s) = %.5f' % (i, solution, solution_eval))  
 return [solution, solution_eval, solutions] 

然后，我們可以創(chuàng)建目標函數(shù)響應面的圖，并像以前那樣標記最優(yōu)值。 

# sample input range uniformly at 0.1 increments  
inputs = arange(bounds[0,0], bounds[0,1], 0.1)  
# create a line plot of input vs result  
pyplot.plot(inputs, [objective([x]) for x in inputs], '--')  
# draw a vertical line at the optimal input  
pyplot.axvline(x=[0.0], ls='--', color='red') 

最后，我們可以將搜索找到的候選解的序列繪制成黑點。 

# plot the sample as black circles  
pyplot.plot(solutions, [objective(x) for x in solutions], 'o', color='black') 

結(jié)合在一起，下面列出了在目標函數(shù)的響應面上繪制改進解序列的完整示例。 

# hill climbing search of a one-dimensional objective function  
from numpy import asarray  
from numpy import arange  
from numpy.random import randn  
from numpy.random import rand  
from numpy.random import seed  
from matplotlib import pyplot  
# objective function  
def objective(x):  
 return x[0]**2.0  
# hill climbing local search algorithm  
def hillclimbing(objective, bounds, n_iterations, step_size):  
 # generate an initial point  
 solution = bounds[:, 0] + rand(len(bounds)) * (bounds[:, 1] - bounds[:, 0])  
 # evaluate the initial point  
 solution_eval = objective(solution)  
 # run the hill climb  
 solutions = list()  
 solutions.append(solution)  
 for i in range(n_iterations):  
  # take a step  
  candidate = solution + randn(len(bounds)) * step_size  
  # evaluate candidate point  
  candidte_eval = objective(candidate)  
  # check if we should keep the new point  
  if candidte_eval <= solution_eval:  
   # store the new point  
   solution, solution_eval = candidate, candidte_eval  
   # keep track of solutions  
   solutions.append(solution) 
    # report progress  
   print('>%d f(%s) = %.5f' % (i, solution, solution_eval))  
 return [solution, solution_eval, solutions]  
# seed the pseudorandom number generator  
seed(5)  
# define range for input  
bounds = asarray([[-5.0, 5.0]])  
# define the total iterations  
n_iterations = 1000  
# define the maximum step size  
step_size = 0.1  
# perform the hill climbing search  
best, score, solutions = hillclimbing(objective, bounds, n_iterations, step_size)  
print('Done!')  
print('f(%s) = %f' % (best, score))  
# sample input range uniformly at 0.1 increments  
inputs = arange(bounds[0,0], bounds[0,1], 0.1)  
# create a line plot of input vs result 
pyplot.plot(inputs, [objective([x]) for x in inputs], '--')  
# draw a vertical line at the optimal input  
pyplot.axvline(x=[0.0], ls='--', color='red')  
# plot the sample as black circles  
pyplot.plot(solutions, [objective(x) for x in solutions], 'o', color='black')  
pyplot.show() 

運行示例將執(zhí)行爬山搜索，并像以前一樣報告結(jié)果。像以前一樣創(chuàng)建一個響應面圖，顯示函數(shù)的熟悉的碗形，并用垂直的紅線標記函數(shù)的最佳狀態(tài)。在搜索過程中找到的最佳解決方案的順序顯示為黑點，沿著碗形延伸到最佳狀態(tài)。