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整數拆分

給定一個正整數 n，將其拆分為至少兩個正整數的和，并使這些整數的乘積最大化。返回你可以獲得的最大乘積。

示例1:

• 輸入: 2
• 輸出: 1
• 解釋: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

• 輸入: 10
• 輸出: 36
• 解釋: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
• 說明: 你可以假設 n 不小于 2 且不大于 58。

思路

看到這道題目，都會想拆成兩個呢，還是三個呢，還是四個....

我們來看一下如何使用動規來解決。

動態規劃

動規五部曲，分析如下：

1.確定dp數組(dp table)以及下標的含義

dp[i]：分拆數字i，可以得到的最大乘積為dp[i]。

dp[i]的定義講貫徹整個解題過程，下面哪一步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是啥!

2.確定遞推公式

可以想 dp[i]最大乘積是怎么得到的呢?

其實可以從1遍歷j，然后有兩種渠道得到dp[i].

一個是j * (i - j) 直接相乘。

一個是j * dp[i - j]，相當于是拆分(i - j)，對這個拆分不理解的話，可以回想dp數組的定義。

那有同學問了，j怎么就不拆分呢?

j是從1開始遍歷，拆分j的情況，在遍歷j的過程中其實都計算過了。

那么從1遍歷j，比較(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。

遞推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

3.dp的初始化

不少同學應該疑惑，dp[0] dp[1]應該初始化多少呢?

有的題解里會給出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解釋比較牽強，主要還是因為這么初始化可以把題目過了。

嚴格從dp[i]的定義來說，dp[0] dp[1] 就不應該初始化，也就是沒有意義的數值。

拆分0和拆分1的最大乘積是多少?

這是無解的。

這里我只初始化dp[2] = 1，從dp[i]的定義來說，拆分數字2，得到的最大乘積是1，這個沒有任何異議!

確定遍歷順序

確定遍歷順序，先來看看遞歸公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

dp[i] 是依靠 dp[i - j]的狀態，所以遍歷i一定是從前向后遍歷，先有dp[i - j]再有dp[i]。

枚舉j的時候，是從1開始的。i是從3開始，這樣dp[i - j]就是dp[2]正好可以通過我們初始化的數值求出來。

所以遍歷順序為：

for (int i = 3; i <= n ; i++) { 
    for (int j = 1; j < i - 1; j++) { 
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j)); 
    } 
} 

舉例推導dp數組

舉例當n為10 的時候，dp數組里的數值，如下：

343.整數拆分

以上動規五部曲分析完畢，C++代碼如下：

class Solution { 
public: 
    int integerBreak(int n) { 
        vector<int> dp(n + 1); 
        dp[2] = 1; 
        for (int i = 3; i <= n ; i++) { 
            for (int j = 1; j < i - 1; j++) { 
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j)); 
            } 
        } 
        return dp[n]; 
    } 
}; 

• 時間復雜度：O(n^2)
• 空間復雜度：O(n)

貪心

本題也可以用貪心，每次拆成n個3，如果剩下是4，則保留4，然后相乘，但是這個結論需要數學證明其合理性!

我沒有證明，而是直接用了結論。感興趣的同學可以自己再去研究研究數學證明哈。

給出我的C++代碼如下：

class Solution { 
public: 
    int integerBreak(int n) { 
        if (n == 2) return 1; 
        if (n == 3) return 2; 
        if (n == 4) return 4; 
        int result = 1; 
        while (n > 4) { 
            result *= 3; 
            n -= 3; 
        } 
        result *= n; 
        return result; 
    } 
}; 

• 時間復雜度O(n)
• 空間復雜度O(1)

總結

本題掌握其動規的方法，就可以了，貪心的解法確實簡單，但需要有數學證明，如果能自圓其說也是可以的。

其實這道題目的遞推公式并不好想，而且初始化的地方也很有講究，我在寫本題的時候一開始寫的代碼是這樣的：

class Solution { 
public: 
    int integerBreak(int n) { 
        if (n <= 3) return 1 * (n - 1); 
        vector<int> dp(n + 1, 0); 
        dp[1] = 1; 
        dp[2] = 2; 
        dp[3] = 3; 
        for (int i = 4; i <= n ; i++) { 
            for (int j = 1; j < i - 1; j++) { 
                dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]); 
            } 
        } 
        return dp[n]; 
    } 
}; 

這個代碼也是可以過的!

在解釋遞推公式的時候，也可以解釋通，dp[i] 就等于 拆解i - j的最大乘積 * 拆解j的最大乘積。看起來沒毛病!

但是在解釋初始化的時候，就發現自相矛盾了，dp[1]為什么一定是1呢?根據dp[i]的定義，dp[2]也不應該是2啊。

但如果遞歸公式是 dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);，就一定要這么初始化。遞推公式沒毛病，但初始化解釋不通!

雖然代碼在初始位置有一個判斷if (n <= 3) return 1 * (n - 1);，保證n<=3 結果是正確的，但代碼后面又要給dp[1]賦值1 和 dp[2] 賦值 2，這其實就是自相矛盾的代碼，違背了dp[i]的定義!

我舉這個例子，其實就說做題的嚴謹性，上面這個代碼也可以AC，大體上一看好像也沒有毛病，遞推公式也說得過去，但是僅僅是恰巧過了而已。

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