最基本的機器學習算法必須是具有單個變量的線性回歸算法。如今，可用的高級機器學習算法，庫和技術如此之多，以至于線性回歸似乎并不重要。但是，學習基礎知識總是一個好主意。這樣，您將非常清楚地理解這些概念。在本文中，我將逐步解釋線性回歸算法。

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想法和公式

線性回歸使用非常基本的預測思想。公式如下：

Y = C + BX

我們在學校都學過這個公式。提醒您，這是一條直線方程。在此，Y是因變量，B是斜率，C是截距。通常，對于線性回歸，它寫為：

在這里，" h"是假設或預測的因變量，X是輸入特征，theta0和theta1是系數。Theta值從頭開始隨機初始化。然后使用梯度下降，我們將更新theta值以最小化成本函數。這是成本函數和梯度下降的解釋。

成本函數和梯度下降

成本函數確定預測與原始因變量的距離。這是公式

任何機器學習算法的想法都是最小化成本函數，以使假設接近于原始因變量。為此，我們需要優化theta值。如果我們分別基于theta0和theta1取成本函數的偏導數，則會得到梯度下降。要更新theta值，我們需要從相應的theta值中減去梯度下降：

經過偏導數后，以上公式將變為：

此處，m是訓練數據的數量，而alpha是學習率。我正在談論一種變量線性回歸。這就是為什么我只有兩個theta值的原因。如果有很多變量，則每個變量都有theta值。

工作實例

我將要使用的數據集來自安德魯·伍(Andrew Ng)的Coursera機器學習課程。這是在Python中逐步實現線性回歸的過程。

(1) 導入包和數據集。

import numpy as np 
import pandas as pd 
df = pd.read_csv('ex1data1.txt', header = None) 
df.head() 

在此數據集中，列零是輸入要素，列1是輸出變量或因變量。我們將使用列0使用上面的直線公式預測列1。

(2) 將第1列與第0列相對應。

輸入變量和輸出變量之間的關系是線性的。當關系為線性時，線性回歸效果最佳。

(3) 初始化theta值。我正在將theta值初始化為零。但是任何其他值也應該起作用。

theta = [0,0] 

(4) 根據前面討論的公式定義假設和成本函數。

def hypothesis(theta, X):  
    return theta[0] + theta[1]*X 
 
def cost_calc(theta, X, y):  
    return (1/2*m) * np.sum((hypothesis(theta, X) - y)**2) 

(5) 計算訓練數據的數量作為DataFrame的長度。然后定義梯度下降函數。在此函數中，我們將更新theta值，直到cost函數達到最小值為止。可能需要任何數量的迭代。在每次迭代中，它將更新theta值，并使用每個更新的theta值來計算成本以跟蹤成本。

m = len(df) 
def gradient_descent(theta, X, y, epoch, alpha): 
    cost = [] 
    i = 0 
    while i < epoch: 
        hx = hypothesis(theta, X) 
        theta[0] -= alpha*(sum(hx-y)/m) 
        theta[1] -= (alpha * np.sum((hx - y) * X))/m 
        cost.append(cost_calc(theta, X, y)) 
        i += 1 
    return theta, cost 

(6) 最后，定義預測函數。它將從梯度下降函數獲得更新的theta并預測假設或預測的輸出變量。

def predict(theta, X, y, epoch, alpha): 
    theta, cost = gradient_descent(theta, X, y, epoch, alpha) 
    return hypothesis(theta, X), cost, theta 

(7) 使用預測函數，找到假設，成本和更新的theta值。我選擇學習率為0.01，然后將這個算法運行2000個時期或迭代。

y_predict, cost, theta = predict(theta, df[0], df[1], 2000, 0.01) 

最終theta值為-3.79和1.18。

(8) 在同一圖中繪制原始y和假設或預測y。

%matplotlib inline 
import matplotlib.pyplot as plt 
plt.figure() 
plt.scatter(df[0], df[1], label = 'Original y') 
plt.scatter(df[0], y_predict, label = 'predicted y') 
plt.legend(loc = "upper left") 
plt.xlabel("input feature") 
plt.ylabel("Original and Predicted Output") 
plt.show() 

假設圖是公式中所預期的一條直線，并且該直線正在最佳位置通過。

(9) 記住，我們在每次迭代中都跟蹤成本函數。讓我們繪制成本函數。

plt.figure() 
plt.scatter(range(0, len(cost)), cost) 
plt.show() 

如前所述，我們的目的是優化theta值以最小化成本。從該圖可以看出，成本從一開始就急劇下降，然后穩定下來。這意味著theta值已按照我們的預期正確優化。

我希望這可以幫到你。這是本文中使用的數據集的鏈接：

https://github.com/rashida048/Machine-Learning-With-Python/blob/master/ex1data1.txt。