從零開始構(gòu)建簡(jiǎn)單人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：1個(gè)輸入層和1個(gè)輸出層
譯文【51CTO.com快譯】本上下篇將介紹僅使用numpy Python庫(kù)從零開始構(gòu)建人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)。
上篇將介紹構(gòu)建一個(gè)很簡(jiǎn)單的ANN，只有1個(gè)輸入層和1個(gè)輸出層，沒有隱藏層。
下篇將介紹構(gòu)建一個(gè)有1個(gè)輸入層、1個(gè)隱藏層和1個(gè)輸出層的ANN。
為何從零開始?
有許多深度學(xué)習(xí)庫(kù)(Keras、TensorFlow和PyTorch等)可僅用幾行代碼構(gòu)建一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。然而，如果你真想了解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的底層運(yùn)作，建議學(xué)習(xí)如何使用Python或任何其他編程語言從零開始為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)編程。
不妨創(chuàng)建某個(gè)隨機(jī)數(shù)據(jù)集：
圖1. 為簡(jiǎn)單起見，隨機(jī)數(shù)據(jù)集帶二進(jìn)制值
上面表格有五列：Person、X1、X2、X3和Y。1表示true，0表示false。我們的任務(wù)是創(chuàng)建一個(gè)能夠基于X1、X2和X3的值來預(yù)測(cè)Y值的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。
我們將創(chuàng)建一個(gè)有1個(gè)輸入層、1個(gè)輸出層而沒有隱藏層的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。開始編程前，先不妨看看我們的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在理論上將如何執(zhí)行：
ANN理論
人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種監(jiān)督式學(xué)習(xí)算法，這意味著我們?yōu)樗峁┖凶宰兞康妮斎霐?shù)據(jù)和含有因變量的輸出數(shù)據(jù)。比如在該示例中，自變量是X1、X2和X3，因變量是Y。
首先，ANN進(jìn)行一些隨機(jī)預(yù)測(cè)，將這些預(yù)測(cè)與正確的輸出進(jìn)行比較，計(jì)算出誤差(預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的差)。找出實(shí)際值與傳播值之間的差異的函數(shù)名為成本函數(shù)(cost function)。這里的成本指誤差。我們的目標(biāo)是使成本函數(shù)最小化。訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基本上是指使成本函數(shù)最小化。下面會(huì)介紹如何執(zhí)行此任務(wù)。
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分兩個(gè)階段執(zhí)行：前饋階段和反向傳播階段。下面詳細(xì)介紹這兩個(gè)步驟。
前饋
圖2
來源：?jiǎn)螌由窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)，又叫Perceptron
在ANN的前饋階段，基于輸入節(jié)點(diǎn)中的值和權(quán)重進(jìn)行預(yù)測(cè)。如果看一下上圖中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，會(huì)看到數(shù)據(jù)集中有三個(gè)特征：X1、X2和X3，因此第一層(又叫輸入層)中有三個(gè)節(jié)點(diǎn)。
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重基本上是我們要調(diào)整的字符串，以便能夠正確預(yù)測(cè)輸出。請(qǐng)記住，每個(gè)輸入特性只有一個(gè)權(quán)重。
以下是在ANN的前饋階段所執(zhí)行的步驟：
第1步：計(jì)算輸入和權(quán)重之間的點(diǎn)積
輸入層中的節(jié)點(diǎn)通過三個(gè)權(quán)重參數(shù)與輸出層連接。在輸出層中，輸入節(jié)點(diǎn)中的值與對(duì)應(yīng)的權(quán)重相乘并相加。最后，偏置項(xiàng)b添加到總和。
為什么需要偏置項(xiàng)?
假設(shè)某個(gè)人有輸入值(0,0,0)，輸入節(jié)點(diǎn)和權(quán)重的乘積之和將為零。在這種情況下，無論我們?cè)趺从?xùn)練算法，輸出都將始終為零。因此，為了能夠做出預(yù)測(cè)，即使我們沒有關(guān)于該人的任何非零信息，也需要一個(gè)偏置項(xiàng)。偏置項(xiàng)對(duì)于構(gòu)建穩(wěn)健的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)而言必不可少。
數(shù)學(xué)上，點(diǎn)積的總和：
X.W=x1.w1 + x2.w2 + x3.w3 + b
第2步：通過激活函數(shù)傳遞點(diǎn)積(X.W)的總和
點(diǎn)積XW可以生成任何一組值。然而在我們的輸出中，我們有1和0形式的值。我們希望輸出有同樣的格式。為此，我們需要一個(gè)激活函數(shù)(Activation Function)，它將輸入值限制在0到1之間。因此，我們當(dāng)然會(huì)使用Sigmoid激活函數(shù)。
圖3. Sigmoid激活函數(shù)
輸入為0時(shí)，Sigmoid函數(shù)返回0.5。如果輸入是大正數(shù)，返回接近1的值。負(fù)輸入的情況下，Sigmoid函數(shù)輸出的值接近零。
因此，它特別適用于我們要預(yù)測(cè)概率作為輸出的模型。由于概念只存在于0到1之間，Sigmoid函數(shù)是適合我們這個(gè)問題的選擇。
上圖中z是點(diǎn)積X.W的總和。
數(shù)學(xué)上，Sigmoid激活函數(shù)是：
圖4. Sigmoid激活函數(shù)
總結(jié)一下到目前為止所做的工作。首先，我們要找到帶權(quán)重的輸入特征(自變量矩陣)的點(diǎn)積。接著，通過激活函數(shù)傳遞點(diǎn)積的總和。激活函數(shù)的結(jié)果基本上是輸入特征的預(yù)測(cè)輸出。
反向傳播
一開始，進(jìn)行任何訓(xùn)練之前，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行隨機(jī)預(yù)測(cè)，這種預(yù)測(cè)當(dāng)然是不正確的。
我們先讓網(wǎng)絡(luò)做出隨機(jī)輸出預(yù)測(cè)。然后，我們將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)輸出與實(shí)際輸出進(jìn)行比較。接下來，我們更新權(quán)重和偏置，并確保預(yù)測(cè)輸出更接近實(shí)際輸出。在這個(gè)階段，我們訓(xùn)練算法。不妨看一下反向傳播階段涉及的步驟。
第1步：計(jì)算成本
此階段的第一步是找到預(yù)測(cè)成本。可以通過找到預(yù)測(cè)輸出值和實(shí)際輸出值之間的差來計(jì)算預(yù)測(cè)成本。如果差很大，成本也將很大。
我們將使用均方誤差即MSE成本函數(shù)。成本函數(shù)是找到給定輸出預(yù)測(cè)成本的函數(shù)。
圖5. 均方誤差
這里，Yi是實(shí)際輸出值，Ŷi是預(yù)測(cè)輸出值，n是觀察次數(shù)。
第2步：使成本最小化
我們的最終目的是微調(diào)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重，并使成本最小化。如果你觀察仔細(xì)，會(huì)了解到我們只能控制權(quán)重和偏置，其他一切不在控制范圍之內(nèi)。我們無法控制輸入，無法控制點(diǎn)積，無法操縱Sigmoid函數(shù)。
為了使成本最小化，我們需要找到權(quán)重和偏置值，確保成本函數(shù)返回最小值。成本越小，預(yù)測(cè)就越正確。
要找到函數(shù)的最小值，我們可以使用梯度下降算法。梯度下降可以用數(shù)學(xué)表示為：
圖6. 使用梯度下降更新權(quán)重
𝛛Error是成本函數(shù)。上面的等式告訴我們找到關(guān)于每個(gè)權(quán)重和偏置的成本函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，然后從現(xiàn)有權(quán)重中減去結(jié)果以得到新的權(quán)重。
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)給出了在任何給定點(diǎn)的斜率。為了找到成本是增加還是減少，給定權(quán)重值，我們可以找到該特定權(quán)重值的函數(shù)導(dǎo)數(shù)。如果成本隨重量增加而增加，導(dǎo)數(shù)將返回正值，然后將其從現(xiàn)有值中減去。
另一方面，如果成本隨重量增加而降低，將返回負(fù)值，該值將被添加到現(xiàn)有的權(quán)重值中，因?yàn)樨?fù)負(fù)得正。
在上面公式中，a名為學(xué)習(xí)速率，乘以導(dǎo)數(shù)。學(xué)習(xí)速率決定了我們的算法學(xué)習(xí)的速度。
我們需要對(duì)所有權(quán)重和偏置重復(fù)執(zhí)行梯度下降操作，直到成本最小化，并且成本函數(shù)返回的值接近零。
現(xiàn)在是實(shí)現(xiàn)我們迄今為止研究的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)候了。我們將用Python創(chuàng)建一個(gè)簡(jiǎn)單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，有1個(gè)輸入層和1個(gè)輸出層。
使用numpy實(shí)現(xiàn)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)
圖7
圖片來源：hackernoon.com
要采取的步驟：
1.定義自變量和因變量
2.定義超參數(shù)
3.定義激活函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)
4.訓(xùn)練模型
5.做出預(yù)測(cè)
第1步：先創(chuàng)建自變量或輸入特征集以及相應(yīng)的因變量或標(biāo)簽。
- #Independent variables
- input_set = np.array([[0,1,0],
- [0,0,1],
- [1,0,0],
- [1,1,0],
- [1,1,1],
- [0,1,1],
- [0,1,0]])#Dependent variable
- labels = np.array([[1,
- 0,
- 0,
- 1,
- 1,
- 0,
- 1]])
- labels = labels.reshape(7,1) #to convert labels to vector
我們的輸入集含有七個(gè)記錄。同樣，我們還創(chuàng)建了一個(gè)標(biāo)簽集，含有輸入集中每個(gè)記錄的對(duì)應(yīng)標(biāo)簽。標(biāo)簽是我們希望ANN預(yù)測(cè)的值。
第2步：定義超參數(shù)。
我們將使用numpy的random.seed函數(shù)，以便在執(zhí)行以下代碼時(shí)可以獲得同樣的隨機(jī)值。
接下來，我們使用正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)初始化權(quán)重。由于輸入中有三個(gè)特征，因此我們有三個(gè)權(quán)重的向量。然后，我們使用另一個(gè)隨機(jī)數(shù)初始化偏置值。最后，我們將學(xué)習(xí)速率設(shè)置為0.05。
- np.random.seed(42)
- weights = np.random.rand(3,1)
- bias = np.random.rand(1)
- lr = 0.05 #learning rate
第3步：定義激活函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)：我們的激活函數(shù)是Sigmoid函數(shù)。
- def sigmoid(x):
- return 1/(1+np.exp(-x))
現(xiàn)在定義計(jì)算Sigmoid函數(shù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。
- def sigmoid_derivative(x):
- return sigmoid(x)*(1-sigmoid(x))
第4步：是時(shí)候訓(xùn)練ANN模型了。
我們將從定義輪次(epoch)數(shù)量開始。輪次是我們想針對(duì)數(shù)據(jù)集訓(xùn)練算法的次數(shù)。我們將針對(duì)數(shù)據(jù)訓(xùn)練算法25000次，因此epoch將為25000。可以嘗試不同的數(shù)字以進(jìn)一步降低成本。
- for epoch in range(25000):
- inputs = input_set
- XW = np.dot(inputs, weights)+ bias
- z = sigmoid(XW)
- error = z - labels
- print(error.sum())
- dcost = error
- dpred = sigmoid_derivative(z)
- z_del = dcost * dpred
- inputs = input_set.T
- weights = weights - lr*np.dot(inputs, z_del)
- for num in z_del:
- bias = bias - lr*num
不妨了解每個(gè)步驟，然后進(jìn)入到預(yù)測(cè)的最后一步。
我們將輸入input_set中的值存儲(chǔ)到input變量中，以便在每次迭代中都保留input_set的值不變。
- inputs = input_set
接下來，我們找到輸入和權(quán)重的點(diǎn)積，并為其添加偏置。(前饋階段的第1步)
- XW = np.dot(inputs, weights)+ bias
接下來，我們通過Sigmoid激活函數(shù)傳遞點(diǎn)積。(前饋階段的第2步)
- z = sigmoid(XW)
這就完成了算法的前饋部分，現(xiàn)在是開始反向傳播的時(shí)候了。
變量z含有預(yù)測(cè)的輸出。反向傳播的第一步是找到誤差。
- error = z - labels
- print(error.sum())
我們知道成本函數(shù)是：
圖8
我們需要從每個(gè)權(quán)重方面求該函數(shù)的微分，這可以使用微分鏈?zhǔn)椒▌t(chain rule of differentiation)來輕松完成。我將跳過推導(dǎo)部分，但如果有人感興趣，請(qǐng)留言。
因此，就任何權(quán)重而言，成本函數(shù)的最終導(dǎo)數(shù)是：
- slope = input x dcost x dpred
現(xiàn)在，斜率可以簡(jiǎn)化為：
- dcost = error
- dpred = sigmoid_derivative(z)
- z_del = dcost * dpred
- inputs = input_set.T
- weights = weight-lr*np.dot(inputs, z_del)
我們有z_del變量，含有dcost和dpred的乘積。我們拿輸入特征矩陣的轉(zhuǎn)置與z_del相乘，而不是遍歷每個(gè)記錄并拿輸入與對(duì)應(yīng)的z_del相乘。
最后，我們將學(xué)習(xí)速率變量lr與導(dǎo)數(shù)相乘，以加快學(xué)習(xí)速度。
除了更新權(quán)重外，我們還要更新偏置項(xiàng)。
- for num in z_del:
- bias = bias - lr*num
一旦循環(huán)開始，你會(huì)看到總誤差開始減小;訓(xùn)練結(jié)束時(shí)，誤差將保留為很小的值。
- -0.001415035616137969
- -0.0014150128584959256
- -0.0014149901015685952
- -0.0014149673453557714
- -0.0014149445898578358
- -0.00141492183507419
- -0.0014148990810050437
- -0.0014148763276499686
- -0.0014148535750089977
- -0.0014148308230825385
- -0.0014148080718707524
- -0.0014147853213728624
- -0.0014147625715897338
- -0.0014147398225201734
- -0.0014147170741648386
- -0.001414694326523502
- -0.001414671579597255
- -0.0014146488333842064
- -0.0014146260878853782
- -0.0014146033431002465
- -0.001414580599029179
- -0.0014145578556723406
- -0.0014145351130293877
- -0.0014145123710998
- -0.0014144896298846701
- -0.0014144668893831067
- -0.001414444149595611
- -0.0014144214105213174
- -0.0014143986721605849
- -0.0014143759345140276
- -0.0014143531975805163
- -0.001414330461361444
- -0.0014143077258557749
- -0.0014142849910631708
- -0.00141426225698401
- -0.0014142395236186895
- -0.0014142167909661323
- -0.001414194059027955
- -0.001414171327803089
- -0.001414148597290995
- -0.0014141258674925626
- -0.0014141031384067547
- -0.0014140804100348098
- -0.0014140576823759854
- -0.0014140349554301636
- -0.0014140122291978665
- -0.001413989503678362
- -0.001413966778871751
- -0.001413944054778446
- -0.0014139213313983257
- -0.0014138986087308195
- -0.0014138758867765552
- -0.0014138531655347973
- -0.001413830445006264
- -0.0014138077251906606
- -0.001413785006087985
- -0.0014137622876977014
- -0.0014137395700206355
- -0.0014137168530558228
- -0.0014136941368045382
- -0.0014136714212651114
- -0.0014136487064390219
- -0.0014136259923249635
- -0.001413603278923519
- -0.0014135805662344007
- -0.0014135578542581566
- -0.0014135351429944293
- -0.0014135124324428719
- -0.0014134897226037203
- -0.0014134670134771238
- -0.0014134443050626295
- -0.0014134215973605428
- -0.0014133988903706311
第5步：作出預(yù)測(cè)
是時(shí)候作出一些預(yù)測(cè)了。先用[1,0,0]試一下：
- single_pt = np.array([1,0,0])
- result = sigmoid(np.dot(single_pt, weights) + bias)
- print(result)
輸出：
- [0.01031463]
如你所見，輸出更接近0而不是1，因此分類為0。
不妨再用[0,1,0]試一下：
- single_pt = np.array([0,1,0])
- result = sigmoid(np.dot(single_pt, weights) + bias)
- print(result)
輸出：
- [0.99440207]
如你所見，輸出更接近1而不是0，因此分類為1。
結(jié)論
我們?cè)诒疚闹袑W(xué)習(xí)了如何使用numpy Python庫(kù)，從零開始創(chuàng)建一個(gè)很簡(jiǎn)單的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，只有1個(gè)輸入層和1個(gè)輸出層。該ANN能夠?qū)€性可分離數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。
如果我們有非線性可分離的數(shù)據(jù)，我們的ANN就無法對(duì)這種類型的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。下篇將介紹如何構(gòu)建這樣的ANN。
原文標(biāo)題：Build an Artificial Neural Network From Scratch: Part 1，作者：Nagesh Singh Chauhan
【51CTO譯稿，合作站點(diǎn)轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明原文譯者和出處為51CTO.com】
