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大數(shù)據(jù)文摘出品

來源：eisenjulian

編譯：周家樂、錢天培

用tensorflow，pytorch這類深度學(xué)習(xí)庫來寫一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)早就不稀奇了。

可是，你知道怎么用python和numpy來優(yōu)雅地搭一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)嘛?

現(xiàn)如今，有多種深度學(xué)習(xí)框架可供選擇，他們帶有自動(dòng)微分、基于圖的優(yōu)化計(jì)算和硬件加速等各種重要特性。對人們而言，似乎享受這些重要特性帶來的便利已經(jīng)是理所當(dāng)然的事兒了。但其實(shí)，瞧一瞧隱藏在這些特性下的東西，能更好的幫助你理解這些網(wǎng)絡(luò)究竟是如何工作的。

所以今天，文摘菌就來手把手教大家搭一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。原料就是簡單的python和numpy代碼!

文章中的所有代碼可以都在這兒獲取。

https://colab.research.google.com/github/eisenjulian/slides/blob/master/NN_from_scratch/notebook.ipynb

符號說明

在計(jì)算反向傳播時(shí), 我們可以選擇使用函數(shù)符號、變量符號去記錄求導(dǎo)過程。它們分別對應(yīng)了計(jì)算圖中的邊和節(jié)點(diǎn)來表示它們。

給定R^n→R和x∈R^n, 那么梯度是由偏導(dǎo)∂f/∂j(x)組成的n維行向量。

如果f:R^n→R^m 和x∈R^n，那么 Jacobian矩陣是下列函數(shù)組成的一個(gè)m×n的矩陣。

對于給定的函數(shù)f和向量a和b如果a=f(b)那么我們用∂a/∂b 表示Jacobian矩陣，當(dāng)a是實(shí)數(shù)時(shí)則表示梯度。

鏈?zhǔn)椒▌t

給定三個(gè)分屬于不同向量空間的向量a∈A及c∈C和兩個(gè)可微函數(shù)f:A→B及g:B→C使得f(a)=b和g(b)=c，我們能得到復(fù)合函數(shù)的Jacobian矩陣是函數(shù)f和g的jacobian矩陣的乘積：

這就是大名鼎鼎的鏈?zhǔn)椒▌t。提出于上世紀(jì)60、70年代的反向傳播算法就是應(yīng)用了鏈?zhǔn)椒▌t來計(jì)算一個(gè)實(shí)函數(shù)相對于其不同參數(shù)的梯度的。

要知道我們的最終目標(biāo)是通過沿著梯度的相反方向來逐步找到函數(shù)的最小值 (當(dāng)然***是全局最小值), 因?yàn)橹辽僭诰植縼碚f, 這樣做將使得函數(shù)值逐步下降。當(dāng)我們有兩個(gè)參數(shù)需要優(yōu)化時(shí), 整個(gè)過程如圖所示：

反向模式求導(dǎo)

假設(shè)函數(shù)fi(ai)=ai+1由多于兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成，我們可以反復(fù)應(yīng)用公式求導(dǎo)并得到：

可以有很多種方式計(jì)算這個(gè)乘積，最常見的是從左向右或從右向左。

如果an是一個(gè)標(biāo)量，那么在計(jì)算整個(gè)梯度的時(shí)候我們可以通過先計(jì)算∂an/∂an-1并逐步右乘所有的Jacobian矩陣∂ai/∂ai-1來得到。這個(gè)操作有時(shí)被稱作VJP或向量-Jacobian乘積(Vector-Jacobian Product)。

又因?yàn)檎麄€(gè)過程中我們是從計(jì)算∂an/∂an-1開始逐步計(jì)算∂an/∂an-2，∂an/∂an-3等梯度到***，并保存中間值，所以這個(gè)過程被稱為反向模式求導(dǎo)。最終，我們可以計(jì)算出an相對于所有其他變量的梯度。

相對而言，前向模式的過程正相反。它從計(jì)算Jacobian矩陣如∂a2/∂a1開始，并左乘∂a3/∂a2來計(jì)算∂a3/∂a1。如果我們繼續(xù)乘上∂ai/∂ai-1并保存中間值，最終我們可以得到所有變量相對于∂a2/∂a1的梯度。當(dāng)∂a2/∂a1是標(biāo)量時(shí)，所有乘積都是列向量，這被稱為Jacobian向量乘積(或者JVP，Jacobian-Vector Product )。

你大概已經(jīng)猜到了，對于反向傳播來說，我們更偏向應(yīng)用反向模式——因?yàn)槲覀兿胍鸩降玫綋p失函數(shù)對于每層參數(shù)的梯度。正向模式雖然也可以計(jì)算需要的梯度, 但因?yàn)橹貜?fù)計(jì)算太多而效率很低。

計(jì)算梯度的過程看起來像是有很多高維矩陣相乘, 但實(shí)際上，Jacobian矩陣常常是稀疏、塊或者對角矩陣，又因?yàn)槲覀冎魂P(guān)心將其右乘行向量的結(jié)果，所以就不需要耗費(fèi)太多計(jì)算和存儲資源。

在本文中, 我們的方法主要用于按順序逐層搭建的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò), 但同樣的方法也適用于計(jì)算梯度的其他算法或計(jì)算圖。

關(guān)于反向和正向模式的詳盡描述可以參考這里☟：

http://colah.github.io/posts/2015-08-Backprop/

深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

在典型的監(jiān)督機(jī)器學(xué)習(xí)算法中, 我們通常用到一個(gè)很復(fù)雜函數(shù)，它的輸入是存有標(biāo)簽樣本數(shù)值特征的張量。此外，還有很多用于描述模型的權(quán)重張量。

損失函數(shù)是關(guān)于樣本和權(quán)重的標(biāo)量函數(shù), 它是衡量模型輸出與預(yù)期標(biāo)簽的差距的指標(biāo)。我們的目標(biāo)是找到最合適的權(quán)重讓損失最小。在深度學(xué)習(xí)中, 損失函數(shù)被表示為一串易于求導(dǎo)的簡單函數(shù)的復(fù)合。所有這些簡單函數(shù)(除了***一個(gè)函數(shù))，都是我們指的層, 而每一層通常有兩組參數(shù): 輸入 (可以是上一層的輸出) 和權(quán)重。

而***一個(gè)函數(shù)代表了損失度量, 它也有兩組參數(shù): 模型輸出y和真實(shí)標(biāo)簽y^。例如, 如果損失度量l為平方誤差, 則∂l/∂y為 2 avg(y-y^)。損失度量的梯度將是應(yīng)用反向模式求導(dǎo)的起始行向量。

Autograd

自動(dòng)求導(dǎo)背后的思想已是相當(dāng)成熟了。它可以在運(yùn)行時(shí)或編譯過程中完成，但如何實(shí)現(xiàn)會(huì)對性能產(chǎn)生巨大影響。我建議你能認(rèn)真閱讀 HIPS autograd的 Python 實(shí)現(xiàn)，來真正了解autograd。

核心想法其實(shí)始終未變。從我們在學(xué)校學(xué)習(xí)如何求導(dǎo)時(shí), 就應(yīng)該知道這一點(diǎn)了。如果我們能夠追蹤最終求出標(biāo)量輸出的計(jì)算, 并且我們知道如何對簡單操作求導(dǎo) (例如加法、乘法、冪、指數(shù)、對數(shù)等等), 我們就可以算出輸出的梯度。

假設(shè)我們有一個(gè)線性的中間層f，由矩陣乘法表示(暫時(shí)不考慮偏置)：

為了用梯度下降法調(diào)整w值，我們需要計(jì)算梯度∂l/∂w。這里我們可以觀察到，改變y從而影響l是一個(gè)關(guān)鍵。

每一層都必須滿足下面這個(gè)條件: 如果給出了損失函數(shù)相對于這一層輸出的梯度, 就可以得到損失函數(shù)相對于這一層輸入(即上一層的輸出)的梯度。

現(xiàn)在應(yīng)用兩次鏈?zhǔn)椒▌t得到損失函數(shù)相對于w的梯度：

相對于x的是：

因此, 我們既可以后向傳遞一個(gè)梯度, 使上一層得到更新并更新層間權(quán)重, 以優(yōu)化損失, 這就行啦!

動(dòng)手實(shí)踐

先來看看代碼, 或者直接試試Colab Notebook：

https://colab.research.google.com/github/eisenjulian/slides/blob/master/NN_from_scratch/notebook.ipynb

我們從封裝了一個(gè)張量及其梯度的類(class)開始。

現(xiàn)在我們可以創(chuàng)建一個(gè)layer類，關(guān)鍵的想法是，在前向傳播時(shí)，我們返回這一層的輸出和可以接受輸出梯度和輸入梯度的函數(shù)，并在過程中更新權(quán)重梯度。

然后, 訓(xùn)練過程將有三個(gè)步驟, 計(jì)算前向傳遞, 然后后向傳遞, ***更新權(quán)重。這里關(guān)鍵的一點(diǎn)是把更新權(quán)重放在***, 因?yàn)闄?quán)重可以在多個(gè)層中重用，我們更希望在需要的時(shí)候再更新它。

class Layer: 
  def __init__(self): 
    self.parameters = [] 
 
  def forward(self, X): 
    """ 
    Override me! A simple no-op layer, it passes forward the inputs 
    """ 
    return X, lambda D: D 
 
  def build_param(self, tensor): 
    """ 
    Creates a parameter from a tensor, and saves a reference for the update step 
    """ 
    param = Parameter(tensor) 
    self.parameters.append(param) 
    return param 
 
  def update(self, optimizer): 
    for param in self.parameters: optimizer.update(param) 

標(biāo)準(zhǔn)的做法是將更新參數(shù)的工作交給優(yōu)化器, 優(yōu)化器在每一批(batch)后都會(huì)接收參數(shù)的實(shí)例。最簡單和最廣為人知的優(yōu)化方法是mini-batch隨機(jī)梯度下降。

class SGDOptimizer(): 
  def __init__(self, lr=0.1): 
    self.lr = lr 
 
  def update(self, param): 
    param.tensor -= self.lr * param.gradient 
    param.gradient.fill(0) 

在此框架下, 并使用前面計(jì)算的結(jié)果后, 線性層如下所示：

class Linear(Layer): 
  def __init__(self, inputs, outputs): 
    super().__init__() 
    tensor = np.random.randn(inputs, outputs) * np.sqrt(1 / inputs) 
    selfself.weights = self.build_param(tensor) 
    selfself.bias = self.build_param(np.zeros(outputs)) 
 
  def forward(self, X): 
    def backward(D): 
      self.weights.gradient += X.T @ D 
      self.bias.gradient += D.sum(axis=0) 
      return D @ self.weights.tensor.T 
    return X @ self.weights.tensor +  self.bias.tensor, backward 

接下來看看另一個(gè)常用的層，激活層。它們屬于點(diǎn)式(pointwise)非線性函數(shù)。點(diǎn)式函數(shù)的 Jacobian矩陣是對角矩陣, 這意味著當(dāng)乘以梯度時(shí), 它是逐點(diǎn)相乘的。

class ReLu(Layer): 
  def forward(self, X): 
    mask = X > 0 
    return X * mask, lambda D: D * mask 

計(jì)算Sigmoid函數(shù)的梯度略微有一點(diǎn)難度，而它也是逐點(diǎn)計(jì)算的：

class Sigmoid(Layer): 
  def forward(self, X): 
    S = 1 / (1 + np.exp(-X)) 
    def backward(D): 
      return D * S * (1 - S) 
    return S, backward 

當(dāng)我們按序構(gòu)建很多層后，可以遍歷它們并先后得到每一層的輸出，我們可以把backward函數(shù)存在一個(gè)列表內(nèi)，并在計(jì)算反向傳播時(shí)使用，這樣就可以直接得到相對于輸入層的損失梯度。就是這么神奇：

class Sequential(Layer): 
  def __init__(self, *layers): 
    super().__init__() 
    self.layers = layers 
    for layer in layers: 
      self.parameters.extend(layer.parameters) 
 
  def forward(self, X): 
    backprops = [] 
    Y = X 
    for layer in self.layers: 
      Y, backprop = layer.forward(Y) 
      backprops.append(backprop) 
    def backward(D): 
      for backprop in reversed(backprops): 
        D = backprop(D) 
      return D 
    return Y, backward 

正如我們前面提到的，我們將需要定義批樣本的損失函數(shù)和梯度。一個(gè)典型的例子是MSE，它被常用在回歸問題里，我們可以這樣實(shí)現(xiàn)它：

def mse_loss(Yp, Yt): 
  diff = Yp - Yt 
  return np.square(diff).mean(), 2 * diff / len(diff) 

就差一點(diǎn)了!現(xiàn)在，我們定義了兩種層，以及合并它們的方法，下面如何訓(xùn)練呢?我們可以使用類似于scikit-learn或者Keras中的API。

class Learner(): 
  def __init__(self, model, loss, optimizer): 
    self.model = model 
    self.loss = loss 
    self.optimizer = optimizer 
 
  def fit_batch(self, X, Y): 
    Y_, backward = self.model.forward(X) 
    L, D = self.loss(Y_, Y) 
    backward(D) 
    self.model.update(self.optimizer) 
    return L 
 
  def fit(self, X, Y, epochs, bs): 
    losses = [] 
    for epoch in range(epochs): 
      p = np.random.permutation(len(X)) 
      X, Y = X[p], Y[p] 
      loss = 0.0 
      for i in range(0, len(X), bs): 
        loss += self.fit_batch(X[i:i + bs], Y[i:i + bs]) 
      losses.append(loss) 
    return losses 

這就行了!如果你跟隨著我的思路，你可能就會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)有幾行代碼是可以被省掉的。

這代碼能用不?

現(xiàn)在可以用一些數(shù)據(jù)測試下我們的代碼了。

X = np.random.randn(100, 10) 
w = np.random.randn(10, 1) 
b = np.random.randn(1) 
Y = X @ W + B 
 
model = Linear(10, 1) 
learner = Learner(model, mse_loss, SGDOptimizer(lr=0.05)) 
learner.fit(X, Y, epochs=10, bs=10) 

我一共訓(xùn)練了10輪。

我們還能檢查學(xué)到的權(quán)重和真實(shí)的權(quán)重是否一致。

print(np.linalg.norm(m.weights.tensor - W), (m.bias.tensor - B)[0]) 
> 1.848553648022619e-05 5.69305886743976e-06 

好了，就這么簡單。讓我們再試試非線性數(shù)據(jù)集，例如y=x1x2，并且再加上一個(gè)Sigmoid非線性層和另一個(gè)線性層讓我們的模型更復(fù)雜些。像下面這樣：

X = np.random.randn(1000, 2) 
Y = X[:, 0] * X[:, 1] 
 
losses1 = Learner( 
    Sequential(Linear(2, 1)), 
    mse_loss, 
    SGDOptimizer(lr=0.01) 
).fit(X, Y, epochs=50, bs=50) 
 
losses2 = Learner( 
    Sequential( 
        Linear(2, 10), 
        Sigmoid(), 
        Linear(10, 1) 
    ), 
    mse_loss, 
    SGDOptimizer(lr=0.3) 
).fit(X, Y, epochs=50, bs=50) 
 
plt.plot(losses1) 
plt.plot(losses2) 
plt.legend(['1 Layer', '2 Layers']) 
plt.show() 

比較單一層vs兩層模型在使用sigmoid激活函數(shù)的情況下的訓(xùn)練損失。

***

希望通過搭建這個(gè)簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),你已經(jīng)掌握了用python和numpy實(shí)現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本思路。

在這篇文章中，我們只定義了三種類型的層和一個(gè)損失函數(shù), 所以還有很多事情可做，但基本原理都相似。感興趣的同學(xué)可以試著實(shí)現(xiàn)更復(fù)雜的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)哦!

References：

• Thinc Deep Learning Library：https://github.com/explosion/thinc
• PyTorch Tutorial：https://pytorch.org/tutorials/beginner/nn_tutorial.html
• Calculus on Computational Graphs：http://colah.github.io/posts/2015-08-Backprop/
• HIPS Autograd：https://github.com/HIPS/autograd

相關(guān)報(bào)道：https://eisenjulian.github.io/deep-learning-in-100-lines/

【本文是51CTO專欄機(jī)構(gòu)大數(shù)據(jù)文摘的原創(chuàng)文章，微信公眾號“大數(shù)據(jù)文摘（ id: BigDataDigest）”】

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